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海森堡的矩阵和薛定谔的波，费因曼的路径积分是第三种描述量子体系的手段。但同样可以证明，它和前两者是完全等价的，只不过是又一种不同的数学表达形式罢了。配合费因曼图，这种方法简单实用，而且非常巧妙。把它运用到原子体系中，我们会惊奇地发现在绝大部分路径上，作用量都互相抵消，只留下少数可能的“轨道”，而这正和观测相符！
我们必须承认，量子论在现实中是成功的，它能够完美地解释和说明观测到的现象。可是要承认叠加，不管是哥本哈根式的叠加还是多宇宙式的叠加，这和我们对于现实世界的常识始终有着巨大的冲突。我们还是不由地怀念那流金的古典时代，那时候“现实世界”仍然保留着高贵的客观性血统，它简单明确，符合常识，一个电子始终有着确定的位置和动量，不以我们的意志或者观测行为而转移，也不会莫名其妙地分裂，而只是一丝不苟地在一个优美的宇宙规则的统治下按照严格的因果律而运行。哦，这样的场景温馨而暖人心扉，简直就是物理学家们梦中的桃花源，难道我们真的无法再现这样的理想，回到那个令人怀念的时代了吗？
且慢，这里就有一条道路，打着一个大广告牌：回到经典。它甚至把爱因斯坦拉出来作为它的代言人：这条道路通向爱因斯坦的梦想。天哪，爱因斯坦的梦想，不就是那个古典客观，简洁明确，一切都由严格的因果性来主宰的世界吗？那里面既没有掷骰子的上帝，也没有多如牛毛的宇宙拷贝，这是多么教人心动的情景。我们还犹豫什么呢，赶快去看看吧！
时空倒转，我们先要回到1927年，回到布鲁塞尔的第五届索尔维会议，再回味一下那场决定了量子论兴起的大辩论。我们在史话的第八章已经描写了这次名留青史的会议的一些情景，我们还记得法国的那位贵族德布罗意在会上讲述了他的“导波”理论，但遭到了泡利的质疑。在第五届索尔维会议上，玻尔的互补原理还刚刚出台，粒子和波动还正打得不亦乐乎，德布罗意的“导波”正是试图解决这一矛盾的一个尝试。我们都还记得，德布罗意发现，每当一个粒子前进时，都伴随着一个波，这深刻地揭示了波粒二象性的难题。但德布罗意并不相信玻尔的互补原理，亦即电子同时又是粒子又是波的解释。德布罗意想象，电子始终是一个实实在在的粒子，但它的确受到时时伴随着它的那个波的影响，这个波就像盲人的导航犬，为它探测周围的道路的情况，指引它如何运动，也就是我们为什么把它称作“导波”的原因。德布罗意的理论里没有波恩统计解释的地位，它完全是确定和实在论的。量子效应表面上的随机性完全是由一些我们不可知的变量所造成的，换句话说，量子论是一个不完全的理论，它没有考虑到一些不可见的变量，所以才显得不可预测。假如把那些额外的变量考虑进去，整个系统是确定和可预测的，符合严格因果关系的。这样的理论称为“隐变量理论”（Hidden Variable Theory）。
德布罗意理论生不逢时，正遇上伟大的互补原理出台的那一刻，加上它本身的不成熟，于是遭到了众多的批评，而最终判处它死刑的是1932年的冯诺伊曼。我们也许还记得，冯诺伊曼在那一年为量子论打下了严密的数学基础，他证明了量子体系的一些奇特性质比如“无限后退”。然而在这些之外，他还顺便证明了一件事，那就是：任何隐变量理论都不可能对测量行为给出确定的预测。换句话说，隐变量理论试图把随机性从量子论中赶走的努力是不可能实现的，任何隐变量理论——不管它是什么样的——注定都要失败。
冯诺伊曼那华丽的天才倾倒每一个人，没有人对这位20世纪最伟大的数学家之一产生怀疑。隐变量理论那无助的努力似乎已经逃脱不了悲惨的下场，而爱因斯坦对于严格的因果性的信念似乎也注定要化为泡影。德布罗意接受这一现实，他在内心深处不像玻尔那样顽强而充满斗志，而是以一种贵族式的风度放弃了他的观点。整个3、40年代，哥本哈根解释一统天下，量子的不确定性精神深植在物理学的血液之中，众多的电子和光子化身为波函数神秘地在宇宙中弥漫，众星拱月般地烘托出那位伟大的智者——尼尔斯•；玻尔的魔力来。
1969年诺贝尔物理奖得主盖尔曼后来调侃地说：“玻尔给整整一代的物理学家洗了脑，使他们相信，事情已经最终解决了。”
约翰•；贝尔则气忿忿地说：“德布罗意在1927年就提出了他的理论。当时，以我现在看来是丢脸的一种方式，被物理学界一笑置之，因为他的论据没有被驳倒，只是被简单地践踏了。”
谁能想到，就连像冯诺伊曼这样的天才，也有阴沟里翻船的时候。他的证明不成立！冯诺伊曼关于隐函数理论无法对观测给出唯一确定的解的证明建立在5个前提假设上，在这5个假设中，前4个都是没有什么问题的，关键就在第5个那里。我们都知道，在量子力学里，对一个确定的系统进行观测，我们是无法得到一个确定的结果的，它按照随机性输出，每次的结果可能都不一样。但是我们可以按照公式计算出它的期望（平均）值。假如对于一个确定的态矢量Φ我们进行观测X，那么我们可以把它坍缩后的期望值写成。正如我们一再强调的那样，量子论是线性的，它可以叠加。如果我们进行了两次观测X，Y，它们的期望值也是线性的，即应该有关系：＝＋
但是在隐函数理论中，我们认为系统光由态矢量Φ来描述是不完全的，它还具有不可见的隐藏函数，或者隐藏的态矢量H。把H考虑进去后，每次观测的结果就不再随机，而是唯一确定的。现在，冯诺伊曼假设：对于确定的系统来说，即使包含了隐函数H之后，它们也是可以叠加的。即有：＝＋
这里的问题大大地有。对于前一个式子来说，我们讨论的是平均情况。也就是说，假如真的有隐函数H的话，那么我们单单考虑Φ时，它其实包含了所有的H的可能分布，得到的是关于H的平均值。但把具体的H考虑进去后，我们所说的就不是平均情况了！相反，考虑了H后，按照隐函数理论的精神，就无所谓期望值，而是每次都得到唯一的确定的结果。关键是，平均值可以相加，并不代表一个个单独的情况都能够相加！
我们这样打比方：假设我们扔骰子，骰子可以掷出1－6点，那么我们每扔一个骰子，平均得到的点数是3。5。这是一个平均数，能够按线性叠加，也就是说，假如我们同时扔两粒骰子，得到的平均点数可以看成是两次扔一粒骰子所得到的平均数的和，也就是3。5＋3。5=7点。再通俗一点，假设ABC三个人同时扔骰子，A一次扔两粒，B和C都一次扔一粒，那么从长远的平均情况来看，A得到的平均点数等于B和C之和。
但冯诺伊曼的假设就变味了。他其实是假定，任何一次我们同时扔两粒骰子，它必定等于两个人各扔一粒骰子的点数之和！也就是说只要三个人同时扔骰子，不管是哪一次，A得到的点数必定等于B加C。这可大大未必，当A掷出12点的时候，B和C很可能各只掷出1点。虽然从平均情况来看A的确等于B加C，但这并非意味着每回合都必须如此！
冯诺伊曼的证明建立在这样一个不牢靠的基础上，自然最终轰然崩溃。终结他的人是大卫•；玻姆（David Bohm），当代最著名的量子力学专家之一。玻姆出生于宾夕法尼亚，他曾在爱因斯坦和奥本海默的手下学习（事实上，他是奥本海默在伯克利所收的最后一个研究生），爱因斯坦的理想也深深打动着玻姆，使他决意去追寻一个回到严格的因果律，恢复宇宙原有秩序的理论。1952年，玻姆复活了德布罗意的导波，成功地创立了一个完整的隐函数体系。全世界的物理学家都吃惊得说不出话来：冯诺伊曼不是已经把这种可能性彻底排除掉了吗？现在居然有人举出了一个反例！
奇怪的是，发现冯诺伊曼的错误并不需要太高的数学技巧和洞察能力，但它硬是在20年的时间里没有引起值得一提的注意。David Mermin挪揄道，真不知道它自发表以来是否有过任何专家或者学生真正研究过它。贝尔在访谈里毫不客气地说：“你可以这样引用我的话：冯诺伊曼的证明不仅是错误的，更是愚蠢的！”
看来我们在前进的路上仍然需要保持十二分的小心。
*********饭后闲话：第五公设
冯诺伊曼栽在了他的第五个假设上，这似乎是冥冥中的天道循环，2000年前，伟大的欧几里德也曾经在他的第五个公设上小小地绊过一下。
无论怎样形容《几何原本》的伟大也不会显得过分夸张，它所奠定的公理化思想和演绎体系，直接孕育了现代科学，给它提供了最强大的力量。《几何原本》把几何学的所有命题推理都建筑在一开头给出的5个公理和5个公设上，用这些最基本的砖石建筑起了一幢高不可攀的大厦。
对于欧氏所给出的那5个公理和前4个公设（适用于几何学的他称为公设），人们都可以接受。但对于第五个公设，人们觉得有一些不太满意。这个假设原来的形式比较冗长，人们常把它改成一个等价的表述方式：“过已知直线外的一个特定的点，能够且只能够作一条直线与已知直线平行”。长期以来，人们对这个公设的正确性是不怀疑的，但觉得它似乎太复杂了，也许不应该把它当作一个公理，而能够从别的公理中把它推导出来。但2000年过去了，竟然没有一个数学家做到这一点（许多时候有人声称他证明了，但他们的证明都是错的）！
欧几里德本人显然也对这个公设感到不安，相比其他4个公设，第五公设简直复杂到家了（其他4个公设是：1，可以在任意两点间划一直线。2，可以延长一线段做一直线。3，圆心和半径决定一个圆。4，所有的直角都相等）。在《几何原本》中，他小心翼翼地尽量避免使用这一公设，直到没有办法的时候才不得不用它，比如在要证明“任意三角形的内角和为180度”的时候。
长期的失败使得人们不由地想，难道第五公设是不可证明的？如果我们用反证法，假设它不成立，那么假如我们导出矛盾，自然就可以反过来证明第五公设本身的正确性。但如果假设第五公设不成立，结果却导致不出矛盾呢？
俄国数学家罗巴切夫斯基（N。 Lobatchevsky）正是这样做的。他假设第五公设不成立，也就是说，过直线外一点，可以作一条以上的直线与已知直线平行，并以此为基础进行推演。结果他得到了一系列稀奇古怪的结果，可是它们却是一个自成体系的系统，它们没有矛盾，在逻辑上是自洽的！一种不同于欧几里得的几何——非欧几何诞生了！
从不同于第五公设的其他假设出发，我们可以得到和欧几里得原来的版本稍有不同的一些定理。比如“三角形内角和等于180度”是从第五公设推出来的，假如过一点可以作一条以上的平行线，那么三角形的内角和便小于180度了。反之，要是过一点无法作已知直线的平行线，结果就是三角形的内角和大于180度。对于后者来说容易想象的就是球面，任何看上去平行的直线最终必定交汇。比方说在地球的赤道上所有的经线似乎都互相平行，但它们最终都在两极点相交。如果你在地球表面画一个三角形，它的内角和会超出180度，当然，你得画得足够大才测量得到。传说高斯曾经把三座山峰当作三角形的三个顶点来测量它们的内角和，但似乎没有发现什么，不过他要是在星系间做这样的测量，其结果就会很明显了：星系的质量造成了空间的明显弯曲。
罗巴切夫斯基假设过一点可以做一条以上的直线与已知直线平行，另一位数学家黎曼则假设无法作这样的平行线，创立了黎曼非欧几何。他把情况推广到n维中去，彻底奠定了非欧几何的基础。更重要的是，他的体系被运用到物理中去，并最终孕育了20世纪最杰出的科学巨构——广义相对论。
五
玻姆的隐变量理论是德布罗意导波的一个增强版，只不过他把所谓的“导波”换成了“量子势”（quantum potential）的概念。在他的描述中，电子或者光子始终是一个实实在在的粒子，不论我们是否观察它，它都具有确定的位置和动量。但是，一个电子除了具有通常的一些性质，比如电磁势之外，还具有所谓的“量子势”。这其实就是一种类似�