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在竞争性的博弈中，该采取混合策略而不采取混合策略将会带来失败。田忌赛马是人人熟悉的故事。齐王与田忌赛马，但齐王的马平均来说要比田忌的马要跑得快，但田忌采纳了孙膑的策略，田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。田忌以三比二获胜，赢了齐王。赛马是零和博弈，齐王的失败在于他使用了纯策略；若齐王使用混合策略，即每次比赛用马采取随机策略，不让田忌预先知晓，那么田忌获胜的机会必定大大小于齐王获胜的机会，齐王不会发生必输的结局。因此，齐王的错误在于没有使用混合策略。txt电子书分享平台
小偷（2）
应当说明的是，田忌赛马是著名的中国古代博弈故事。但其田忌获胜的博弈结果则不是博弈论所能够给出的。博弈论假定了每个参与人都是绝顶聪明的（理性的），博弈论给出的是，田忌和齐王都应采取混合策略，此时有一个混合策略均衡。田忌赛马从反面印证了纳什均衡的含义：若某个参与人主动改变均衡策略，他的收益会降低。这里，主动改变均衡策略而收益降低的参与人是齐王。
5．《三国演义》中的空城计与信息不对称的博弈
如果我们用博弈论的眼光看《三国演义》，三国演义完全是一部记载着许多博弈案例的著作。当然，罗贯中不可能用“博弈”一词。如果我们用一词来概括《三国演义》，这个词就是“计”。计，即计策或策略也。用计，即用策略赢对方。用计算敌，不仅要自己选择恰当的计策，而且要算准对方要用的计策，这不就是博弈？现在让我们看《三国演义》中著名的空城计博弈。
诸葛亮误用马谡，致使街亭失守。司马懿引大军十五万蜂拥而来。当时孔明身边别无大将，只有一班文官，五千军士，已分一半先运粮草去了，只剩二千五百军士在城中。众官听得这个消息，尽皆失色。孔明登城望之，果然尘土冲天，魏兵分两路杀来。孔明传令众将旌旗尽皆藏匿，诸军各收城铺。打开城门，每一门用二十军士，扮作百姓，洒扫街道。而孔明乃披鹤氅，戴纶巾，引二小童携琴一张，于城上敌楼前凭栏而坐，焚香操琴。司马懿自飞马上远远望之，见诸葛亮焚香操琴，笑容可掬。司马懿顿然怀疑其中有诈，立即叫后军作前军，前军作后军，急速退去。司马懿之子司马昭问：“莫非诸葛亮无军，故作此态，父亲何故便退兵？”司马懿说：“亮平生谨慎，不曾弄险。今大开城门，必有埋伏。我兵若进，中其计也。”孔明见魏军退去，抚掌而笑，众官无不骇然。诸葛亮说，司马懿“料吾生平谨慎，必不弄险；见如此模样，疑有伏兵，所以退去。吾非行险，盖因不得已而用之”，我兵只有二千五百，若弃城而去，必为之所擒。
这就是为后人广为传颂的空城计。这是一个信息不对称的博弈。
这里，司马懿不知道自己和对方在不同行动策略下的支付，而诸葛亮是知道的，他们对博弈结构的了解是不对称的，诸葛亮拥有比司马懿更多的信息。这种信息的不对称完全是诸葛亮“制造出来的”。因此这是一个信息不对称的博弈。
在这里，孔明可以选择的策略是“弃城”或“守城”。无论孔明所选择的是“弃”还是“守”，只要司马懿明确知道在各种可能的情况下他自己的支付，那么孔明均要被其所擒。孔明惟一的办法就是不让司马懿清楚地知道他自己的策略结果。孔明通过空城计，目的是降低司马懿进攻的可能收益，使得司马懿认为，后退比进攻要好。
司马懿
孔明
进攻
后退
守城
被擒；大胜
逃脱；不胜不败
弃城
被擒；大胜
逃脱；不胜不败
在信息不充分的情况下，理性的博弈参与人不是使自己的支付或效用最大，而是使自己的“期望支付（或效用）”最大。比如：如果让你在“有50％的可能获得100元”与“有10％的可能获得200元”两者之间进行选择，你当然选前者，因为前者的“期望所得”为：50％×100=50元，而后者为：10％×200元=20元。理性的人是选择前者的。
在孔明—司马懿的博弈中，孔明了解双方的局势，制造空城假象的目的就是让司马懿感到进攻有较大的失败的可能。如果我们用概率论的术语来说，诸葛亮的做法是加大司马懿对进攻失败的主观概率。此时，在司马懿看来，进攻失败的可能性较大，而退兵的期望效用大于进攻的期望效用。即：司马懿认为进攻的期望效用低于退兵的效用。诸葛亮惟有通过这个办法，才能让司马懿退兵。
司马懿想，诸葛亮一生谨慎，不做险事，只有设定埋伏才可能如此镇定自若，焚香操琴。此时，司马懿觉得“退”比“进攻”更合理，或者说期望效用更大。于是后军变前军，前军变后军，后退而去。结果是诸葛亮得以逃脱。司马懿对局势的判断不是没有道理的，他对诸葛亮的判断是基于以前的认识，这就是“归纳法”，我们会在第七章中讨论归纳法在博弈中的作用及其局限。
空城计博弈是不完全信息博弈，我们说过《三国演义》是一本博弈实战教材，在该书中有完全信息博弈实例吗？当然，曹操与诸葛亮的华容道博弈就是一个完全信息博弈。
曹操亲领八十万大军进攻东吴，孙权和刘备联合破曹，曹军大败。曹操引兵而逃。经过一路厮杀，来到一处，军士报：前方有两条道路，请问丞相走哪条路？曹操问：哪条路近？军士说：大路稍平，却远五十余里。小路投华容道，却近五十多里。曹操令人上山观望，回报：小路山边有数处狼烟，大路并无动静。曹操叫走华容道。诸将问：烽烟起处必有军马，何故反走这条路？曹操说：岂不闻兵书有云：“实则虚之，虚则实之”。诸葛亮多谋，故使人于山僻放烟，使我军不敢从这条路走，他却伏兵于大路等着。吾已料定，偏不教中他计。诸将皆曰：丞相妙算，人不可及。遂曹兵走华容道。但关羽依着诸葛亮的妙计在华容道等着曹操，于是关羽上演了一场“只为当初恩义重，放开金锁走蛟龙”的捉放曹的义举。逃过华容道大难，曹操只剩二十七骑！
在曹操与诸葛亮之间的这一华容道博弈中，曹操的策略是在走华容道还是走大路之间进行选择，而诸葛亮派关羽埋伏时，要在埋伏在大路还是埋伏在通往华容道的小路之间进行选择。
这个博弈如同猜硬币的游戏一样，是一个“零和博弈”5它没有纯策略纳什均衡点。双方对博弈有完全的信息，各种策略下的博弈支付是公共知识——我们下一章将说明什么是公共知识。但双方无法知道对方的策略选择，而只能进行猜测。曹操要选择走诸葛亮的军队不在的路，这是他的最优的结果。而诸葛亮的最优结果是埋伏在曹操要走的路上。
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曹操
诸葛亮
华容道
大路
华容道
捉住曹操，被捉
白等，逃脱
大路
白等，逃脱
捉住曹操，被捉
诸葛亮制造埋伏在大路的假象，其实则派关羽埋伏在小路。这里关键是谁能真正猜到
对方的策略，谁就是赢家。诸葛亮胜曹操一筹。这个博弈不存在纯策略纳什均衡点，博弈结果是：曹操选择了走华容道，结果被抓；关羽在华容道守候，抓住了曹操。
6．约定与协调博弈
先看一个道路通行博弈。
道路是浪费土地的，因为它的建设需要占用土地；道路又是节约土地的，因为若没有道路的方便人们将践踏更多的土地。随着人口的增多，道路在增加，道路上行走的车辆和行人也越来越多。道路上的行人和车辆有来有往，若没有交通规则，情况会如何？
假设在某条道路上向相反方向行驶的两辆车在某处相遇。若它们均走自己的“左边”、或均走自己的“右边”，它们则能顺利通过；而如果一辆车走自己的“左边”、另外一辆车走自己的“右边”，它们均不能通过，甚至发生相撞。我们设不能通过（或相撞）的支付为0，顺利通过的支付为1，该道路通行博弈的博弈支付矩阵如下：
乙
甲
左
右
左
1，1
0，0
右
0，0
1，1 该博弈有两个纳什均衡是，这两辆车都走“左边”，或都走“右边”。
我们已经说过，若一个博弈只有一个纳什均衡，该均衡是可预测的。在这样的博弈中的参与人能够自动地在该纳什均衡处实现。而博弈一旦出现两个或两个以上的纳什均衡，博弈结果是什么，我们无法预测。该博弈道路通行博弈也一样，我们不能预先知道，两个司机选择的最后结果。
在这个道路通行博弈中，这两辆车的司机均希望能够顺利通过，均不希望发生堵车甚至相撞的尴尬情况出现。但是对每个司机而言，他应当选“左”还是“右”呢？若他知道对方的选择，他很容易地作出自己的选择，但对方与他处于同样的决策境地。预测对方的选择是正确决策的基础，而司机发生预测错误是可能的，因此发生不能顺利通过是可能的。6
在实际中人们是如何避免此尴尬情况出现的呢？其方法众所周知。那就是，确定交通规则。交通规则规定人们在交通行走中一律“靠左行”，或一律“靠右行”。是“靠右行”还是“靠左行”在不同国家有不同的规定。“靠右行”还是“靠左行”，没有优、劣之分，重要的是在一个固定的区域了必须有一致的规定。一旦在某个区域了这样的规定成为公共知识，那么，在一般情况下不会发生堵车甚至相撞的悲剧了。
该交通通行博弈的特点是，存在多个纳什均衡点，参与人希望在其中任何一个纳什均衡点上实现各自的最大收益。这样的博弈称为协调博弈。
在协调博弈中，可通过某个约定而协调参与人的行动，使博弈的某个均衡点得以实现。
再来看一个协调博弈。
有几个学生决定不参加星期一的考试。他们周末离开学校去郊区游玩，周二才回来。回来后，他们向教授解释说，在回来的路上他们汽车轮胎爆了，没有备用轮胎。他们出示了他们所住的郊区旅馆的收据，上面有日期，以证明周末他们确实在郊区。他们恳请教授给他们重新安排一次考试。我们假定有四个学生。
教授同意给他们一个补考的机会。学生们在教室的四个角落就坐，他们为他们成功欺骗暗自窃喜。教授说考试内容只需回答一个问题，教授在黑板上写下这样的问题：“你们所驾驶的车子的四个车轮的轮胎中哪一个坏了？”
这是一个协调博弈。车子有四个轮胎，因而，每个学生都有四个备选答案：前左、前右、后左、后右。若四个学生的答案一致，那么他们便通过考试，否则便没有通过考试。
若他们的故事是真实的，他们的回答将是一致的。每个学生都会指出那个爆了的轮胎。若故事是编造的，他们可以通过事先的“约定”而使答案一致，而若没有这样的约定，所有四个学生均答出同一个轮胎的概率很低，概率只有，读者可以来验证这个结果。7教授出人意料地给出这个问题，学生很难预测到该问题而进行预先对回答进行“约定”。
在生活中这样的协调博弈随处可见。比如，儿童在商场里走失，儿童与父母相互寻找便是一个协调博弈。在商场中，父母与儿童往往有多个可能的所在地点（比如楼层）可选择，若父母与儿童所选择的是同一楼层，他们将相遇，这是他们希望的；若父母与儿童所选择了楼层不同，他们将不能相遇，这是他们努力避免的。为了防止走散而相遇不到的情况，父母与儿童可以事先进行约定，一旦走失，一起去往共同认识的某处，比如某一楼层或某一个特殊的柜台，此时便能够出现希望出现的博弈结果。对于这样的博弈，很可能的是父母与儿童事先没有进行约定。如果没有进行约定，最好的方法是双方根据双方所拥有的公共知识而选择对方最可能的地方（事先的约定也是公共知识）。比如，儿童这样想，一起来到商场是为了购买某种商品，父母最有可能在该商品所在的地方；父母也会这样想，孩子会认为我们会在购买商品的地方……这里我们假定了儿童具有一定的推理能力，否则的话，这里的分析是不合适的。
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公共知识与博弈（1）
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