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但是，倘若你能做出一种陈述，并且发现你不能证明它既是如此又非如此的话，又将怎么样呢？
假如我说：“我现在所说的是假话”。
是假话吗？如果是假话，那么，我在说假话这件事就是假的了，因此，我必定在说真话。如果我在说真话，那么我在说假话这件事就是真的了，因此，我确实在说假话。我可以永无休止地来回这样说，结果，将永远无法证明我所说的到底是如此，还是并非如此。
假如你能对这些逻辑公理进行调整，以排除上面所说的这种可能性，那么，你能不能找到另外的方法来做出这样一种既是如此，又非如此的说法？
1931年，一位奥地利数学家戈德尔终于提出一个有力的证明，他指出，对于任何一组公理，你都能做出既不能根据这些公理来证明事实确是如此，也不能根据这些公理来证明事实确非如此的说法。从这个意义上讲，任何人都不可能建立出一种可以凭此推导出一个完美无缺的数学体系的公理。
这是不是意味着我们永远不可能找到“真理”呢？当然不是的。
第一，因为一种数学体系不完美，并不意味着它所包含的东西是“假的”。如果我们不想超出这样的数学体系的限度来应用它，它就仍然是极其有用的。
第二，戈德尔证明只适用于数学中所应用的那几种演绎体系。但是演绎并不是发现“真理”的唯一办法。任何公理都不能帮助我们去推导出太阳系的大小。太阳系的大小是通过观察和测量而得出的——观测是得到“真理”的另一途径。
第5节
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我们通常所用的数都是十进制数。这就是说，它们是按１０的幂来进位的。我们写７２９１时，实际上就是７×１０３加上２×１０２加上９×１０１加上１×１００。应当记住，
１０３＝１０×１０×１０＝１０００；
１０２＝１０×１０＝１００；
１０１＝１０；
１００＝１。
因此，７２９１就是７×１０００加上２×１００加上９×１０再加上１。读出声的时候，就是七千二百九十一。
由于我们对应用１０的各次幂已经非常习惯，所以我们只须写出他们所乘的数（如７２９１），其余的都可以略去。
其实，１０的幂次并不是什么神秘的东西。任何一个比一大的数的幂次都可以起到这样的效果。例如，假定我们现在想用８的幂来写出７２９１这个数，这时应当记住
８０＝１；
８１＝８；
８２＝８×８＝６４；
８３＝８×８×８＝５１２；
８４＝８×８×８×８＝４０９６。
这样，我们就可以把７２９１写为１×８４加上６×８３加上１×８２加上７×８１再加上３×８０。（请你们自己把这个数算出来，并看看所得出的答数。）如果只写出各次幂所要乘的数字，它就应当是１６１７３。因此，我们可以说１６１７３（八进制）＝７２９１（十进制）。
八进制的优点在于除了０以外，你只需记住七个数字。如果你想用数字８，那你可以写出８×８３，而这就等于１×８４。因此，不管任何时候，你都可以用１来代替８。所以十进制的８等于八进制的１０；十进制的８９等于八进制的１３１，依次类推。但是，用八进制时，一个数所用的总字数要比用十进制时多。由此可见，基数越小，所用的不同数字越少，但总字数则越多。
当你用二十进制时，７２９１这个数将成为１８×２０２加上４×２０１再加上１１×２００。在这种情形下，如果你把１８写为＃，并把１１写为％，你就可以说＃４％（二十进制）＝７２９１（十进制）。用二十进制时你将不得不用１９个不同的数字，但是每一个数所用的总字数就会少些。
十进制是一种很方便的进位制。用这种进位制时，既不必记住过多的数字，而且在写一个数时，又可不必用过多的字数。
什么是二进制数呢？在二进制的情况下，７２９１这个数等于１×２１２加上１×２１１加上１×２１０加上０×２９加上０×２８加上０×２７加上１×２６加上１×２５加上１×２４加上１×２３加上０×２２加上１×２１再加上１×２０。（请你们自己把这个数算出来，看看得出什么结果。但要记住２９是９个２的乘积，亦即２×２×２×２×２×２×２×２×２＝５１２。）如果只写出数字，那就是１１１０００１１１１０１１（二进制）＝７２９１（十进制）。
由于二进制数只需要用两个数字，即１和０，所以做加法和乘法演算特别简单。但是即使一个很小的数，例如７２９１，也要用很多位数表示，因而很容易在我们头脑中造成混乱。
但是，电子计算机则可以使用一个双向开关。把开关拨向某一方向，即把电流接通时，它就代表１。把开关拨向另一方向，即把电流断开时，它就代表０。这样，通过操纵电路，使它根据二进制的加法和乘法规则接通和断开，计算机就能以非常快的速度进行算术演算。同按十进制原理设计、用标有０到９的齿轮来进行演算的普通台式计算器相比，它的演算速度要快得多。
第6节
大多数人最为熟悉的数有两种，即正数（＋５，＋１７．５）和负数（－５，－１７．５）。负数是在中世纪出现的，它用来处理３－５这类问题。从古代人看来，要从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的。但是，中世纪的商人却已经清楚地认识到欠款的概念。“请你给我五个苹果，可是我只有三个苹果的钱，这样我还欠你两个苹果的钱。”这就等于说：（＋３）－（＋５）＝（－２）。
正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘。正数乘正数，其乘积为正。正数乘负数，其乘积为负。最重要的是，负数乘负数，其乘积为正。
因此，（＋１）×（＋１）＝（＋１）；（＋１）×（－１）＝（－１）；（－１）×（－１）＝（＋１）。2米2花2书2库2 ；http：//www。7mihua。com
现在假定我们自问：什么数自乘将会得出＋１？或者用数学语言来说，＋１的平方根是多少？
这一问题有两个答案。一个答案是＋１，因为（＋１）×（＋１）＝（＋１）；另一个答案则是－１，因为（－１）×（－１）＝（＋１）。数学家是用√￣（＋１）＝±１来表示这一答案的。（碧声注：（＋１）在根号下）
现在让我们进一步提出这样一个问题：－１的平方根是多少？
对于这个问题，我们感到有点为难。答案不是＋１，因为＋１的自乘是＋１；答案也不是－１，因为－１的自乘同样是＋１。当然，（＋１）×（－１）＝（－１），但这是两个不同的数的相乘，而不是一个数的自乘。
这样，我们可以创造出一个数，并给它一个专门的符号，譬如说＃１，而且给它以如下的定义：＃１是自乘时会得出－１的数，即（＃１）×（＃１）＝（－１）。当这种想法刚提出来时，数学家都把这种数称为“虚数”，这只是因为这种数在他们所习惯的数系中并不存在。实际上，这种数一点也不比普通的“实数”更为虚幻。这种所谓“虚数”具有一些严格限定的属性，而且和一般实数一样，也很容易处理。
但是，正因为数学家感到这种数多少有点虚幻，所以给这种数一个专门的符号“ｉ”（imaginary）。我们可以把正虚数写为（＋ｉ），把负虚数写为（－ｉ），而把＋１看作是一个正实数，把（－１）看作是一个负实数。因此我们可以说√￣（－１）＝±ｉ。
实数系统可以完全和虚数系统对应。正如有＋５，－１７．３２，＋３／１０等实数一样，我们也可以有＋５ｉ，－１７．３２ｉ，＋３ｉ／１０等虚数。
我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。
假如你用一条以０点作为中点的直线来表示一个正实数系统，那么，位于０点某一侧的是正实数，位于０点另一侧的就是负实数。
这样，当你通过０点再作一条与该直线直角相交的直线时，你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直线上０点的一侧的数是正虚数，０点另一侧的数是负虚数。这样一来，同时使用这两种数系，就可以在这个平面上把所有的数都表示出来。例如（＋２）＋（＋３ｉ）或（＋３）＋（－２ｉ）。这些数就是“复数”。
数学家和物理学家发现，把一个平面上的所有各点同数字系统彼此联系起来是非常有用的。如果没有所谓虚数，他们就无法做到这一点了。
第7节
素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和１的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，１５＝３×５，所以１５不是素数；又如，１２＝６×２＝４×３，所以１２也不是素数。另一方面，１３除了等于１３×１以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以１３是一个素数。
有的数，如果单凭印象去捉摸，是无法确定它到底是不是素数的。有些数则可以马上说出它不是素数。一个数，不管它有多大，只要它的个位数是２、４、５、６、８或０，就不可能是素数。此外，一个数的各位数字之和要是可以被３整除的话，它也不可能是素数。但如果它的个位数是１、３、７或９，而且它的各位数字之和不能被３整除，那么，它就可能是素数（但也可能不是素数）。没有任何现成的公式可以告诉你一个数到底是不是素数。你只能试试看能不能将这个数表示为两个比它小的数的乘积。y米y花y书y库y ；__
找素数的一种方法是从２开始用“是则留下，不是则去掉”的方法把所有的数列出来（一直列到你不想再往下列为止，比方说，一直列到１００００）。第一个数是２，它是一个素数，所以应当把它留下来，然后继续往下数，每隔一个数删去一个数，这样就能把所有能被２整除、因而不是素数的数都去掉。在留下的最小的数当中，排在２后面的是３，这是第二个素数，因此应该把它留下，然后从它开始往后数，每隔两个数删去一个，这样就能把所有能被３整除的数全都去掉。下一个未去掉的数是５，然后往后每隔４个数删去一个，以除去所有能被５整除的数。再下一个数是７，往后每隔６个数删去一个；再下一个数是１１，往后每隔１０个数删一个；再下一个是１３，往后每隔１２个数删一个。……就这样依法做下去。
你也许会认为，照这样删下去，随着删去的数越来越多，最后将会出现这样的情况；某一个数后面的数会统统被删去因此在某一个最大的素数后面，再也不会有素数了。但是实际上，这样的情况是不会出现的。不管你取的数是多大，百万也好，万万也好，总还会有没有被删去的、比它大的素数。
事实上，早在公元前３００年，希腊数学家欧几里得就已证明过，不论你取的数是多大，肯定还会有比它大的素数，假设你取出前６个素数，并把它们乘在一起：２×３×５×７×１１×１３＝３００３０，然后再加上１，得３００３１。这个数不能被２、３、５、７、１１、１３整除，因为除的结果，每次都会余１。如果３００３１除了自己以外不能被任何数整除，它就是素数。如果能被其它数整除，那么３００３１所分解成的几个数，一定都大于１３。事实上，３００３１＝５９×５０９。
对于前一百个、前一亿个或前任意多个素数，都可以这样做。如果算出了它们的乘积后再加上１，那么，所得的数或者是一个素数，或者是比所列出的素数还要大的几个素数的乘积。不论所取的数有多大，总有比它大的素数，因此，素数的数目是无限的。
随着数的增大，我们会一次又一次地遇到两个都是素数的相邻奇数对，如５，７；１１，１３；１７，１９；２９，３１；４１，４３；等等。就数学家所能及的数来说，他们总是能找到这样的素数对。这样的素数对到底是不是有无限个呢？谁也不知道。数学家认为是无限的，但他们从来没能证明