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“主要研究的，是在黎曼流形上如何去规划fritz john必要最优性条件。”
“这个项目的难度目前我还没办法说，但对你们两个来说，应该不算简单。”说这句话的时候，菲涅尔教授还瞥了程诺一眼。“也因此，你们两个的主要任务还是辅助我。”
“这个项目是克雷研究所那边邀请我去研究的，因为后面有相关的研究要用到，所以他们要求我在两个月之内给出结果。”
“所以……”菲涅尔呵呵一笑，“你们要做好心理准备！”
第三百八十五章 Lipschitz函数（）
385章
《黎曼流形上frit jhn必要最优性条件》！
这是程诺未来两个月内要研究项目的拟定课题。
菲涅尔教授在小隔间内简短的对程诺和赫尔说了一些需要注意的事项之外，便让两人拿着文件回去做做准备，次日再正式开始研究课题。。。
程诺自然是没有意见。
他也想趁这点时间，了解一下课题相关的一些知识。
虽然他的任务可能只是给菲涅尔教授打打下手，但做好充足的准备总归是没错的。
程诺坐在办公桌上，一只手撑着下巴，另一只手翻着菲涅尔给他的文件。
黎曼流形这个课题，是由米国的克雷数学研究所直批的2022年50个国家重点数学科研项目之一。
这五十个数学科研项目，无论是在项目难度，还是重要程度，都属于世界前列。
实际上，作为当今世界数学领域最发达的几个国家之一，米国的克雷数学研究所就是担任引领世界数学前沿的作用。
在加上克雷数学研究所财大气粗的特性，这五十个国家重点数学科研项目，每个给出了十万美元的资金支持。
并且，担任这五十个科研项目的研究工作的数学家，全部属于世界顶级的数学家。
就如程诺现在的老板菲涅尔教授，作为几何学领域的超级大牛，五十个项目中有关几何学领域的三个课题，克雷研究所将最难的那一个交给他来做。
也就是程诺手中拿到的这个黎曼流形的课题。
一上午的时间，程诺一边阅读着文件，一边在网上找着相关的论文读。
难！真的难！
这是程诺研究一上午给出的结果。
他终于知道为什么克雷数学研究所为什么要把这个课题交给菲涅尔教授来做了，因为当今数学界，能保证在两个月内搞定这个课题的数学家，恐怕不会超过五指之数。
而菲涅尔教授，显然是最稳妥的那一个。
给予的科研时间太短不说，网上有关这方面的论文和资料实在是太少，也就意味着，他们几乎是从零开始。
黎曼流形，本来就是几何学领域研究的超难点，再加上函数论和微分的相关知识，足以叫世界上大部分数学家抓狂。
扪心自问，要是把这个项目交给程诺自己一人来完成，至少三年起步。
“看来暂时，还是要牢牢抱住菲涅尔教授这根大腿啊！”程诺感慨了一句，继续埋头收集起资料。
………………
次日，程诺早早来到办公室。
菲涅尔教授一到，程诺和赫尔再次被叫到那间小隔间里。
“准备的怎么样？”菲涅尔教授上来就开口问道。
赫尔苦笑一下，“老师，网上关于这方面的资料确实太少了，图书馆那边也没有相关度太高的书籍，所以……”
菲涅尔教授摆摆手，似乎预料到这种情况。
“目前这个方向的数学研究，确实是一片空白，所以才需要我们去研究，去填充！”菲涅尔教授的目光在两人的脸上缓缓扫过，“所以我昨天说，你们要做好心理准备。这是一场硬仗！”
“从零开始，没有任何可以借鉴的资料，而且时限……只有两个月！”
菲涅尔教授继续说道，“我不会说什么加油激励的话，只希望你们两个不要忘记来这的目的，想要退出，我随时欢迎。”
“多余的话说道这里，现在我们来谈谈课题的事情。”
菲涅尔教授让两人找位置坐下，搬过来一台笔记本电脑，打开一份ppt，指着道，“这是我做的一个简短的课题研究流程。”
“这个项目，我做主导，你们两个的任务就是辅助我，解决一些难度不算大的环节。”
程诺和赫尔点点头，表示知道。
以他们两个的能力，还不足以撑起这个项目的框架。
菲涅尔教授继续做着讲解，“这个项目的拟定名称，叫做黎曼流形上frit jhn必要最优性条件。那就首先要明白，何谓黎曼流形，何谓frit jhn必要最优性条件！”
“黎曼流形这个概念不用说，而frit jhn必要最优性条件对你们来说应该比较陌生。”他先把目光望向程诺，“程诺，你了解这个概念吗？”
程诺不假思索的回答，“所谓的frit jhn必要最优性条件，便是指inf，st。｛g≤0，h=0，∈的必要最优性条件。”
“不错，这就是frit jhn必要最优性条件。你们也看出来了，这个frit jhn必要最优性条件如果直接去研究的话，不仅变量极多，函数方程不好定义之外，还存在推导过程中公式复杂的问题。”
“也因此，我们需要转换一下思路。”
菲涅尔教授翻到下一页ppt，上面只写着一行公式：
f：→r，g：→r^l，h：→r^n
程诺扫了一眼，恍然大悟一声，“lipshit函数？！”
菲涅尔教授瞥了一眼程诺，目光带着一丝赞赏，“准确的说，是局部lipshit函数！”
lipshit函数，是指若f在区间i上满足对定义域d的任意两个不同的实数、2均有：∥f…f2∥&ap；lt；=k∥…2∥成立，必定有f在区间i上一致连续。
程诺心中，已经大概明白了这个项目菲涅尔教授的破题点是什么了。
菲涅尔教授继续他的理论讲解，“在这个公式中，我们可以把当做一个维的黎曼流形。”
“艾顿可的那篇关于hilbert空间中p问题的论文，你们两个都应该有读到过吧？”
两人同时点头。
“那就好了，类比一下，我们就可以把p问题从线性的空间扩展到微分流形上，而微分流形又是非光滑的，那么我们就可以有如下的框架构建。”
下一张 ppt展示在两人面前。
“第一步，在黎曼流形上建立非光滑分析工具，即在流形上定义广义方向导数和广义梯度。”
“第二步，讨论广义梯度的性质。”
“第三步，在前两步的基础上，讨论黎曼流形上问题p的frit jhn型最优性条件．”
“第四步，……”
框架早已被菲涅尔教授搭建好。
而程诺在看到那一条条井然有序的过程步骤，有一种醍醐灌顶的感觉。
原来，这个项目，应该这样去做！
第三百八十六章 嘶！（）
386章
菲涅尔教授将思路讲解的很透彻。
简单来说，首先在黎曼流形上给了lipsehitz函数的广义方向导数和广义梯度的概念。
然后，利用黎曼流形局部上与欧氏空间开集微分同胚的性质以及切映射和余切射导出了广义梯度的性质和运算法则。
同时证明了定义在黎曼瘟形上的函致取得授小值的必要条件是广义梯度包含零元素。并利用这些性质给出了黎曼流形上数学规划问题的fritz john型最优性条件。
菲涅尔教授搭建的框架目前并称不上完善，因为后续的具体脉络的绘制还是要根据那时研究的具体情况来判定。但单论这个并不完善的框架，也是程诺目前所望尘莫及的。
管中窥豹一番，程诺不得不佩服菲涅尔教授在几何学领域的造诣，那是超过自己不仅一个档次。
“还有很长的路要走啊！”程诺轻叹了一句。
大概的框架已有，而程诺又不是作为主要的研究员，所以落在他身上的工作并不算多。
这一次，他是抱着学习的目的，参与到这项国家重点数学项目的研究中。
在菲涅尔教授这里领了任务后，程诺便和赫尔一块退出小隔间。
隔间外，赫尔轻呼一口气，拍拍程诺的肩膀，“程，未来两个月的日子，我们恐怕有的忙了啊！”
他担任菲涅尔教授的助手已经快要两年的时间，类似这次的“大项目”也参与过几次。
那段时间的日子，只能用忙得昏天黑地来形容，即便他们一群给菲涅尔教授打打下手的。
菲涅尔教授交给他们的任务虽然肯定是难度较小，复杂系数较低的那些。但，那是在菲涅尔教授看来。
对他们这群小助理来讲，菲涅尔教授认为简单的任务，在他们眼中，难度不亚于写一篇一区的sci论文。
当然，那段时间，在各种的压力下，他们成长的也确实比平常迅速的多。
现在同样的处境再次落在他的身上，赫尔一想到未来两个月在办公室里熬夜加班的日子，心里痛并快乐着。
幸好，这次起码还有程诺陪着，他心里的痛苦能稍微减轻些。
只不过，看旁边程诺脸上的表情，怎么没有丝毫担心的样子？
程诺咧嘴笑了笑，“赫尔，放心，有菲涅尔教授和我在，不会让你过整整两个月的苦日子的！”
菲涅尔教授的数学水平自然不用说。
程诺相信，即便没有他和赫尔两人，菲涅尔教授单独一人就能在两个月内搞定课题。
如今牵着那辆马车的马匹由一匹变成三匹，虽然另外两匹马很瘦小，但只要不拖后腿，自然不需要两个月这么久。
而程诺，只有别人拖他的后腿，哪有他拖别人后腿的道理？
“加油！”程诺拍了拍没怎么听懂他话中意思的赫尔，笑着走回办公桌。
程诺活动活动手指，开启了一天的工作。
该项目的研究过程暂时被定为三大阶段。
而第一阶段他的任务，只是简单的构建几个概念罢了。
早就经历过无数课题磨炼的程诺，对此已经轻车熟路，他在电脑上噼里啪啦的打着
【设，g是维黎曼流形，在每一点x∈的切空问tx给定一个数量积gu，v=&ap；ap；ap；lt；u，v&ap；ap；ap；gt；，？u，v∈tx；其中｜｜v｜｜x=&ap；ap；ap；lt；v，v&ap；ap；ap；gt；表示向量v∈tx在点x的范数。这样就在切空间定义了一个等价范数……】
【……因此，对每一点x，黎曼度量g在tx与tn，x之间诱导了一个等距同构：v=gxv，nv，u=gxv，u，？u∈tx】
【定义切余空间tx上向量的范数为｜｜v｜｜=｜｜v｜｜=gxv，v，如此便有哥西不等式&ap；ap；ap；lt；v，u&ap；ap；ap；gt；≤｜｜v｜｜｜｜u｜｜，？u∈tx】
一顿操作猛如虎，程诺的手指都几乎要在键盘上飞出幻影。
思维清晰的程诺，几乎没有遇到任何的卡顿。一个个公式，就如同顺利应当般出现在电脑屏幕上。
任务进度条，也在一直蹭蹭蹭的上涨。
3，8，15，23……
而另一边，我们的赫尔同学，则是望着他手中的任务清单，皱着眉头苦思。
这一阶段他的任务是研究lipschitz函数的一些性质和fritz john型最优性条件的转化关系，难度方面和程诺拿到的任务差不多。
但此时他却是愁眉苦脸的状态，一支笔在纸上不停的写写画画。
fy…fx｜≤l｜φy…φx｜
fx，v=li…li…
不对，不是这样，不是这样！
赫尔用力划掉。
那这样呢？嘶，似乎也不对啊！
啊啊啊啊！到底怎么做啊！
赫尔用力揉搓着他的金色短发，湛蓝的眼睛里满是生无可恋的眼神。
黎曼流形算是赫尔的强项，但lipschitz函数明显属于函数论领域的范畴，他所知不多。因此做起这个项目来，还要比之前的几个大项目要头疼的多。
看着纸上那一行行被划掉的公示，赫尔只想大喊一句
天哪，谁来救救我啊！
陷入惆怅中的赫尔同学，目光在办公室内神游一圈，最后落在不远处的程诺身上。
那边，程诺正欢快的啪啪啪着键盘，显得无比兴奋。
赫尔的目光陡然一亮。
…………
“程！”正欢快敲打着键盘的程诺，突然看到身旁突然露出一个脑袋，吓得差点没直接把电脑扔出去。
他看了一眼蹲在身边的赫尔，捂着额头说道，“赫尔同学，你不去工作，跑我这边来干啥？”
不说这个还好，一提这个，赫尔就露出异常无奈的表情，“我也想去好好工作啊，可老师分给我的任务，我是在是有些地方弄不懂，所以就过来找你