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二是戴震研究了岁实和朔实：它们的来源、关系、确定的方法，写了专书《古今岁实考》。古代天文学本来就有两派，一派是天文观测家，观测恒星、彗星、流星等，一派是历法家，主要是推算日月星辰运行的。戴震是后一派。对岁实和朔实的研究，也是从天体视运动人手的，依据《周髀》中关于右旋和左旋的提法，他说：中前四颗星天枢、天璇、天玑、天权称璇玑。本书按戴震解释《周髀》“北极璇玑环绕正北极”的思路，把这句话说成“北斗七星绕北极”的实际运动（实际上也是一种视运动），与黄极天极间的相对运动，与日躔黄道的视运动一致。至于《周髀》说“月道之极又环绕璇玑者也”，是说白道和黄极间的相对运动。白道和黄道的交角为5°9′。戴震取此说而未用二十八宿作背景的太阳视运动来说明四季变化，但实质上仍然是一样的，因为“北斗七星绕北极”相应于“日躔黄道”。
① 《原象》，见《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版109 页。
日躔黄道，其极日黄道极，《周髀》所谓北极璇玑环绕正北极者也，月道之极又环绕璇玑者也，是为右旋之枢。①太阳循黄道运行形成岁实，月循月道运行周期累计成朔实。岁实即太阳年，通常称回归年。我国古代把一年定为三百六十五又四分之一度，使太阳每天在黄道上移一度。可贵的是戴震还不说36514日，而“三百六十五日小余不满四分日之一”。现代天文学告诉我们，太阳视圆面中心两次过春分点的时间，即回归年为365 日5 时48 分46 秒，小于一般认为的36514日。恒星年则又比太阳年约长20 分23 秒，为365 日6 时9 分9。5 秒，那是由于岁差引起的。戴震把他精确而言之的回归年时间叫“经岁”、“平岁实”、“恒岁实”，那时地球绕日公转的概念还没引起注意，谈不上有恒星年的明确概念，但十分重要的是，戴震已考虑岁差对计经岁的影响。关于岁差，戴震还没有从岁差形成的本质前提：地球绕日公转出发，而是从视运动出发作了说明：“星仪，考识昏旦中，设其枢以象星极，为游规而载之，以知岁差。”①岁差的实际原因是因月球和太阳的吸引力使地轴产生进动引起的，由于地轴的进动，春分点向西缓慢移动（速度每年50″2），从而使地球绕太阳公转的实际时间延长，造成恒星年长于回归年。戴震当时还没有认识到这一道理。他仍然以视运动：日循黄道右旋，月循月道（白道）旋转解释之。地轴的运动被说成日月之盈缩迟疾。他说：察星极以知右旋，察北极以知左旋，天行之大致举矣。天左旋，日月星随之而左者，昼夜之象也。各自为经纬，是以知日月星皆右旋，右旋者，发敛之轨也。日之盈缩，月之迟疾，五步之，益以留退有规法，以知差数。日月五步之规法，盈缩之故也。一逆一顺，自然而成至，动有常之机也。
在戴震看来，解决岁实（回归年），必及岁差，解决岁差，必及由视运动观测而累计成朔实的月循月道的运动中的迟疾变化。戴震将黄道看作太阳周年视运动轨道。并考虑到了岁差对回归年的影响，这是十分可贵的。关于岁实和朔实的关系，戴震是从天体视运动本身的实际运动情形加以说明的。现代天文学认为，正是月球和太阳的黄经相等时，即月球运行到地球和太阳之间，和太阳同时出没，方呈现朔日的月相。戴震对视运动的解释是：月道斜交于黄道，凡二十七日小余过日之半，月逡其道一终，日月之会，凡二十九日小余过日之半以起朔，十二朔凡三百五十四日有奇分而近岁终，积其差数置闰月，然后时序之从乎日行发敛者以正。？？日兆月而月乃有光，人自地视之，惟于望得见其光之盈，朔则日之兆月，其光向日，下民不可得见，余以侧见而阀。日月之行，朔而薄于交道，日为月所掩则日食。这里所说的“日月之会”、“朔而薄交于道”，都是指日月的黄经相等。戴震举出的天文数字也很正确了。现代天文学告诉我们：1 朔望① 《原道》，见《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版108 页。
① 《迎日推策记》，见《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版114 页。② 同上。
① 《原象》，见《戴震集》，上海古籍出版社1980 年108 至109 页。
月平均为29 日12 时44 分02。976 秒（即29。53059 日），而12 个朔望月，即1 个太阴年（我国夏历年即此）为354。36 平太阳日。戴震举出的数字，反映了那个时代的天文学水平。
关于岁实和朔实，即回归年和太阴年，分别由戴震和钱大听作过深入研究，戴《古今岁实考》，钱著《古今朔实考》，但从大体视运动日循黄道，和月循月道来说明岁实和朔实的关系，则仍是由戴震从天文理论上完成的。《古今岁实考》移录自西汉未我国第一部完整历法《三统历》至清代《历象考成》在关岁实的记录，由于各时代各历书使用的天文单位不同，今天读起来显然有一定困难，这就需要对古今天文单位作一番换算，但不管用何种单位，各历法书都是在寻求回归年的长度。例如说：《三统》周天五十六万二千一百二十，统法一千五百三十九。［戴震云：］古法周天，即岁周，以统法为日法，亦名度法，除周天得经岁三百六十五日，其小余三百八千五。今按：周天：岁周即岁实，亦即回归年。56 万云云，是说太阳循黄道一周天经过的度数（用古法），统法是指太阳每天前行的度数（用古法）。以56万2 千1 百20 除以1 千5 百39，得365 日余385 度。又如移录《四分历》云：《四分》大周三十四万三千三百三十五，蔀月九百四十。〔戴震云：〕大周即周天也，蔀月即日法也。以日法除周天得经岁三百六十五日小余二百三十五？？今按：可用上条计算方法得之。
戴震的《古今岁实考》，实际上是一部历学史，或称“回归年学史”。
值得一提的是，戴震从祖冲之（429—500）《大明历》的天文数字的叙述中认为祖冲之发现岁差①，尽管不确，但意义甚大，说明戴震敏锐的目光，善于从古代天文记录中发现天文史的成就，后来在《续天文略》中戴震最终发现，是虞喜发现岁差。①《古今岁实考》说：祖冲之《大明历》周天一千四百四十二万四千六百六十四，虚分一万四百四十九，岁余九千五百八十九。纪法三万九千四百九十一。［戴震云］以万万（按：古代天文中一种用于换算的常数，最早为唐僧一行所制）通虚分，满纪法得二千六百四十五万九千一百九十三奇（九千二百三十七不尽），又以万万通岁余，满纪法得二千四百二十八万一千四百八十一奇（三万三千八百二十九不尽），岁余不及度余三万九千四百九十一之八百六十，是为岁差分。天自为天，岁自为岁，其法始见于此，定为四十五六年（按：45。6 年）差一度也。① 岁差是由晋代虞喜提出的（约330 年），并得出“五十年退一度”的结论，《大明历》则最早将岁差用入历法。明代礼部员外郎郑善夫曾说岁差之法，虞喜以五十年差一度，何承天以百年差一度，刘焯以七十五年，一行以八十年，郭守敬以六十七年。梅文鼎也在戴震之前确认虞喜发现岁差。① 见《续天文略》卷上五页，载《安徽丛书》第六期《戴东原先生全集》。② 见黄汝成《袖海楼杂著》收入的戴震《古今岁实考》。戴震认为祖氏《大明历》提供岁差，因为从《大明历》的天文数字中确实能得到岁差。《大明历》周天（按：即岁周）14。424，664（按：黄汝成认为是14，423，800，4）减去虚分10，449 得14，414，215，除以纪法39，491，得岁实之整数部分365。《大明历》岁余9589，除以纪法39491，得0。2428148，为岁差之小数部分，合计为岁实365。2428。《大明历》虚分三是对古历法“九道八行说”的批判和继承。古历法中的“九道”，是指月球绕地球公转轨道的投影轨道。又称白道，戴震《原象》中称之为月道，戴说：“月道斜交于黄道。”现代天文学指出，白道和黄道的交角平均为5°9′，“九道”用以考白道与黄道每月相交的变化，从而将月球轨道白道分为内朱道、外朱道、内白道、外白道、内黑道、外黑道、内青道、外青道、中黄道。“八行”是指用八个节气（春分、立春、冬至、立冬、秋分、立秋、夏至、立夏）来命名九道，如说春分青道为正东（内青道）、立春青道为东南（外青道）等等。“九道八行”之说，宋人疑之，元人废之。戴震认为，“九道八行”之说是有错误，但它的前提是承认黄道、月道有交点，日月运行到该交点的某一相同范围内是有可能的。而这个交点不是固定不变，而是要变化的。戴震说：月道出入黄道内外，二十七日有奇而交道一终。交终不复于原处，其差一度又几半度。每年之差，自东而西十九度奇。有“交道一终”，要形成月朔和可能形成日月食，有“交终不复于原处”，则不一定形成日月食。这正是自然界的辩证运动。戴震认为研究天体有充分利用这一运动特征的必要，日月运动的黄经相等和交点的位置移动，亦即日月运动到同一黄经度，但两者不一定相重，是研究日月食的依据，因而是极其有用的。他说：古历以自南而北交于黄道为中交，常以中交为主，今历谓之正交。古历自北而南为正交，今历谓之中交。日食朔，当交也。月食望，当交也。戴震认为，废弃了旧说，应当有研究的新路，否则无法正确解释自然现象，科学就会停止。他说：九道自宋人疑之，至元而遂废。考诸古历，未有明析其必分之故者。由今思之。可以知交道出入焉，可以考当交、半交距赤道远近焉，可以明交终所差，每月交于某宫度焉，可以辨交之中终与朔望不齐，每朔望去交远近及当交而有食焉。古法之废而宜举者此也。戴震对古天文中已被废弃的说法仍取批判继承，为我所改造，为我所利用的态度，是值得重视的。
四是对古代天文，尤其是《周髀》中的“北极璇玑四游”作出合乎近代科学的解释和术语的对应。通过古今对比研究和术语对应，以古证今，以今补古，这对加深对古天文的科学认识，促进后代天文学的发展，都是有重要意义的。最著名的对比就是天体视运动的对比。近代天文学将太阳视运动的轨道叫黄道。它和天球赤道的交角为23°26′，天球赤道平面有北天极和南天极，黄道也有北黄极和南黄极。视运动在古代早有研究，戴震说，鲁《论语》中的北辰，《周髀》中的正北极，又名北极枢，都是指天球赤道极。《周10449，减去岁余9589，得860，除以纪法39491，得岁差0。0217771。此计算法为南京大学中国思想家研究中心卢央老师提供。0。0217771（每年岁差度）×100 年＝2。17771，即按祖氏提供的天文数字推算，得出每百年差2。17771 度，但早在祖冲之（429——500）之前，晋虞喜的约在公元330 年前后提出：“通而计之，未盈百载，所差二度”。从而得出“五十年退一度”的结论。按戴震说，应当为45。6 年，即0。0217771×45。6＝0。999303576≈l（度）。
① 《九道八行说》，《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版118 页。
① 《九道八行说》，《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版119 页至120 页。② 同上，120 页。
髀》中的北极璇玑是黄道极，天体的视运动是日循黄道，但地球上看得最清楚的却是璇玑绕枢北极，即黄极和天球赤道极间的相对运动，或说成北斗绕北极。戴震说：“正北极者，左旋之枢，北极璇玑每昼夜环绕之而成规。”①璇玑绕北极与日循黄道是相应的，日循黄道的不同时刻的太阳的位置，形成了璇玑的“一日四游”，同样，太阳一年四季的位置，在北半绕北极中表现为“璇玑一岁四游”。古代曾把地球在空间的运动叫做“地游”。璇玑四游曾被作过种种理论上的解释，莫衷一是，“纷纭殊说，私臆罔据”，戴震把北斗绕北极和日循黄道看作同一问题以后，完全揭开了其相关运动的秘密，古来误解的“璇玑四游”问题得到了正确的解释。
五是对月建的解释，也是以古证今的典例。古代天文中把农历每月所置之辰称为月建。如正月建寅，二月建卯等。但月建的依据是什么？汉代人据《逸周书》斗杓移辰来解释月建，也非得其是。戴震认为，璇玑绕北极运动为一年四季的变化依据，将北斗绕北极的运行轨道均分之有十二宫，或称十二辰（实际上就是把黄道附近的一周天分成十二等分由东向西配以子丑寅卯等十二支），冬至夜半北斗转到了正北极的子位，是