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② 《勾股割圆记》有种种版本，《五礼通考》本分上中下三篇共2417 字，有图注和托名吴思孝的补注。段玉裁经韵楼本三篇共2268 字（四部丛刊本《戴东原集》依此）。孔继涵在乾隆四十二年（1777）刊《戴氏遗书》，将《割圆记》四篇作为《原象》的五、六、七、八（《原象》的一至四为“璇玑玉衡”、“中星”、“土圭”、“五纪”，段玉裁曾谓此四篇合《割圆记》三篇，再加《迎日推策记》为《原象》，但经韵楼本又将《割圆记》三篇另列，不与《原象》四篇同卷，这与《戴氏遗书》本大不同），共2785 字（《昭代丛书续篇补》依此）。微波谢本三卷，共2735 字，为安徽丛书第六期《戴东原先生全集》所本，有吴思孝注和图注，本书对《勾股割圆记》的研究以安徽丛书本为据。
③ 《自然辩证法》人民出版社1971 年版162 页。
① 《自然辩证法》人民出版社1971 年版55 页。
② 《安徽丛书》第六期戴震《勾股割圆记》托名吴思孝序。
③ 《自然辩证法》人民出版社1971 年版55 页。
① 《安徽丛书》第六期戴震《勾股割圆记》，本节有关戴震数学资料未注出处的皆见该书。并将《勾股割圆记》简称为《记》。
2、《记》上：“弧矢之内成相等之勾股二，半弧弦为勾，减矢于圆半径，余为股。勾股之两端曰径隅，亦谓之弦，勾股之弦得圆半径也。”
按：径隅为《周髀算径》的旧名。承1，将弦的中垂线交于圆之两端，形成以圆心为顶点的两全等直角三角形，该直角三角形的弦等于圆半径，戴称之为径隅。戴震认为，此原理对求解天球黄道赤道夹角等极有用，由弧长求勾股，由勾股求弧长和矢（按：均可，因半径为定值），由弧、矢而承勾股求出整个圆面，“步算之能事毕矣”。天文推步在勾股割圆中得到说明。3、在注释本中，戴震详细介绍了圆周率的计算方法和历史。
4、《记》上：“勾股弦三矩方之，合勾与股三方适如弦之大方。”
按：戴震在注文中详细介绍了溯自《周髀算经》中的勾股定理，今之表达甚简：设勾股弦为abc，则c2=a2＋b2以上由勾股割圆中的一些基本概念（名称）、定义的确定、圆周率和勾股定理的介绍，明确了戴震研究勾股割圆术的基本点。所谓“勾股割圆”实际上是指直角三角形与圆面（即过圆直径的圆内接直角三角形）的同一性关系的处理。以上基本点无疑是处理这一同一性关系的数学基础。应该说，把这种带有自然辨证哲学特点的同一性关系放到门类科学中去看，它将是十分复杂的，戴震研究的勾股术就是这种同一性在数学上的复杂的具体表现，透过数学研究，我们看到的正是著作者的科学头脑，辩证思路和逻辑方法。（二）勾股割圆术的应用要点的分析1、《记》上：“有勾有股求其弦：勾自乘、股自乘，并之开方得弦。”
按：此即用公式：c= a b 2 2 ＋2、即用公式：b= c a 2 2 …3、即用公式：a= c b 2 2 … 对此，戴震还看到与第二术的联系。《记》上云：“凡曰勾曰股者其名可互易，故与第二术同。”
在第三术中，戴震又说：“减矢于圆经，余为股，弦和矢恒为股弦较（凡两数相并为和，相减余为较），和、较相乘为勾之方。
按：设：圆内以圆心为顶点的直角三角形勾、股、弦为a、b、c，矢为S，半径为R，则：b＝R 一S，S（矢，又称股弦较）＝c 一b＝R 一b，（R＋b）（R 一b）＝a2 亦即a2=（c＋b）（c…b）。其实，此定理还可推广成：圆内两任意直线相交，各直线被圆和交点切成的两线段之积相等。戴震其时尚未识此。在第三术中，戴震说：“减勾于圆半径，余为次弧背之矢。倍股为次弧弦。减次弧背之矢于圆径，余为勾。弦和其矢为勾弦较，和，较相乘为股之方。”
按：如图，戴震意谓为次弧背，GF 为次弧背之矢。则：①GF=OFOG=OF…CB②BE=2BG=2OC③CB=OG=OF…GF④OC2=BG·GE=GF·GH 戴震的这一勾股术，实际上将过圆心的直角三角形推广到圆内接长方形观察之。戴说甚确。4、《记》上：“有半弧弦（又名内矩分），有矢，求其圆径，半弧弦自乘，矢除之，加矢，为圆径。”
按：戴震术语中的内矩即弦，内矩分即弦之半。此处的圆径指直径而言，如图：已知a、s，求2R，则据圆内直线相交定理：a2=s（R…s＋R）a2=2Rs…s2 2R=as2＋s。
5、《记》上：“有矢，有圆径，求半弧弦，以矢为股弦较，于圆径减矢余为股勾和，和、较相乘，开方得勾，勾即半弧弦，倍之为全弦。”
按：用上图，设6 为直径，则据圆内直线相交定理a2s（d…s） a= sd s … 26、《记》上：“有半弧弦，有圆径，有矢。以半弧弦与圆半径相减得次弧背之矢，为勾弦较，相并为勾弦和，和较相乘，开方得股，股即次半弧弦（又名次内矩分），以减圆半径得矢”。
按：此题可按§4 图解之，已知a、d，求s，则s（d…s）=a2s2…sd＋a2=0 需解一元二次方程得s，戴震当时尚未识此。戴解此题的思路是用另§3 图解得的。设：DC 为s，勾BC 为a，OB 为R，则GF=R…a，GH=R＋aOC2=BG·GE=GF·GH=（R…a）（R＋a） OC= （ ）（ ） R a R a ＋ … OC=BG，即戴震所谓次内矩分、次半弧弦。S=R…OC=R…BG=R… （ ）（ ） R a R a ＋ …十分清楚，戴震的勾股第四、五、六术联系十分紧密，如从代数学角度看，是同一代数式设不同未知数解方程。戴震是从几何学去寻觅不同联系的。第六术中戴震还说：“方圆相函之体，用截圆之周径而函勾股和、较之率，四分圆周之一如之。规方之四隅而函圆之周，凡四觚（按：gū角）如之。因方以为勾股，函圆之半周，凡三觚如之。”
按：为解释此说，戴震共画了五个图，意思是说在正方形，任意四边形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形端点画圆截弧，前两者弧之和均为360°，后两者均为180°。这实际上是把多边形与圆联系起来探讨两者的关系，结论是，任意四边形内角和总是等于一个圆，任意三角形内角和总是等于半个圆。这无疑是正确的。
此外，在第六术中，戴震还举出了勾股术在工程上的应用，如测水平、测高度、测深度、测距离等。戴震十分讲究技术应用，基础理论和技术应用之间没有鸿沟，虽然它们的前提都挂上为解经服务，但科学和技术实际上都成了独立研究的对象。
7、《记》上：“有次矩分，求矩分，以积矩为实，次矩分为法，除之得矩分。”又说：“有矩分求次矩分，以积矩为实，矩分为法，除之得次矩分。”按：这实际上是戴震把长方形和圆联系起来考察，视长方形为圆内接长方形，矩分为边长，积矩为矩分和次矩分之积，实际上是长方形面积，“实”为被除数，“法”为除数。戴说甚明。戴震明确指出：“右即广袤互求之法”。“广”即宽度，“袤”即长度。
8、仍是工程测量问题，所谓“有矩分（边长）求径引数（工程测量中垂线随处所指引起大于圆半径的伸长部分）”。此外，戴震还讨论了圆内接正六边形边长等于圆半径，圆内接正十边形边长为：以该圆半径为股，该圆半径之半为勾，求其弦，然后得弦与勾之差即为正十边形边长。戴氏甚确。9、实际上是将两相似直角三角形作比较，用比例法解勾股问题，以解决工程测量中的求远处高度之类的问题（本来可以直接用三角函数，如H＝Csina，戴震化为勾股比例问题，原理同，但稍烦，戴震表彰中法，故有此算法）。《记》上：“凡勾股弦大小大互求，必得其三，则可以知其四，以原有之两矩定其率，今有之一矩，合而权之，异乘同除，得所求之一矩。”按：此话甚费解，试设两直角三角形相似，勾股弦分别为A、B、C 和a、b、c①戴云：“小股与大勾相乘，小勾除之，得大股。”解：如图则（式中小股与大勾相乘，戴谓之“异乘”，大勾与小勾相除，戴谓之“同除”，以下同此类推之。）
②戴云：“小勾与大股相乘，小股除之，得大勾”。解：如图：③戴云：“大股与小勾相乘，大勾除之，得小股”。解：如图：④戴云：“大勾与小股相乘，大股除之，得小勾”。解：如图：⑤戴云：“小弦与大勾相乘，小勾除之，得大勾”。解：如图：⑥戴云：“小勾与大弦相乘，小弦除之，得大勾”。解：如图：⑦戴云：“大弦与小勾相乘，大勾除之，得小弦”。解：如图：⑧戴云：“大勾与小弦相乘，大弦除之，得小勾”。解：如图：⑨戴云：“小弦与大股相乘，小股除之，得大弦”。解：如图：⑩戴云：“小股与大弦相乘，小弦除之，得大股”。解：如图：戴云：“大弦与小股相乘，大股除之，得小弦”。解：如图：戴云：“大0 股与小弦相乘，大弦除之，得小股”。解：如图：针对以上十二种情形，戴震认为：“割圆之法，尽于勾股互权”。它的实际用途仍在工程测量上，戴震举了“隔水测崖高”说明之。
10、除重申§6 介绍的第六术以外，以勾股法讲述三角函数的求解，戴震注指出：他所说的“矩分”指正切，“内矩分”指正弦，“径引数”指正割，“次矩分”指余切，“次内矩分”指余弦，“次引数”指“余割”。例如，戴震说：“有次内矩分，有内矩分，求矩分：以圆半径乘内矩分，内矩分除之，得矩分。”
按：先按戴震的中法解之，参用§3 的图。已知：BG，BC 则矩分tg∠BOC=R BCBG·这就是戴震关于矩分的值，因通常割圆时以半径作为单位长度看待，故tg∠BOC=BCBG=BCOC若以戴震注明西学术语解之，则戴震的说法可写作：tga＝R aa·sincos，通常以半径为单位长度，则tga＝sincosaa，甚确。至于戴震第二术中讲述的余切、正割、余割、正弦、余弦的求解法，情况类此。本条完全可以看出戴震中西互为表里的学术思想。值得重视。
11、勾股第十一术实际上是讲半角公式，《记》上：“求分弧内矩分及次内矩分：以矢与圆半径相乘，半之，开方，得分弧之内矩分。以内矩分与分弧之内矩分相乘，矢除之，得分弧之次内矩分。”
按：分弧指的一半，设DC 为S，半径BO 为R，∠BOD 为a，按题意为求解BE（分弧内矩分）的长度。亦即Rsina2号戴震的结论是：BE＝SR2今按半角公式证之：sina2=12… cos a在直角△BOC 中cosa=OCR=R SR…故sina2=12…… R SR =SR 2BE=RSR 2=RS2又：求解分弧的次内矩分，即求分弧的余弦OE，戴震公式为OE=BC BEs×（式中BC 为原弧内矩分），BE 为分弧内矩分，因直角△BCE 与直角△OEB 相似，BEDC=BOBD=OEBC即BES=RBD=OEBC故OE=BC BEs×证讫。
12、第十二术实际上是倍角公式。但表达全用中法勾股木。《记》上：“求倍弧内矩分及次内矩分，以内矩分与次内矩分相乘，倍之为实，（即内矩分乘倍次内矩分之数），径隅除之，得倍弧内矩分。若内矩分自乘倍之为实（即内矩分乘倍内矩分之数），径隅除之得倍弧之矢，减矢于圆半径，得倍弧之次内矩分。
按：据戴震术语，内矩分为正弦，次内矩分为余弦，设∠BOC 为a，则∠BOE=2a，据题求BE 和OE，显指求2a 的正弦值和余弦值。据戴震说法：公式当为：BE=2BC OCR·（式中R 表示径隅，亦即半径，直角三角形中的弦）
OE=R…2 2 BCR。现证明如下：直角△ BAE～直角△ BOC，故BDBA=BCAE=OCBEBE=BA OCBO·=2BC OCR·证讫一式。AE=BC BABO·=BC BCBO·2=2 2 BCROE=OA…AE=R…2 2 BCR证讫二式。戴震用中法来理解倍角的正弦和余弦是完全正确的。
13、第十三术戴震叙述了两角和的正弦公式。两角差的正弦公式、两角和余弦公式、两角差余弦公式。《记》上：“有大小两弧求其和弧、较弧内矩分及次内矩分，以大弧两矩分与小弧次内矩分相乘，径隅除之，得和弧、较弧内矩分之半和；以大弧次内矩分与小弧内矩分相乘，径隅除之，得和弧、较弧内矩分之半较。加半较于半和为和弧内矩分；减半较于半和，为较弧内矩分。”按：设大弧对应的角为α，小弧的角为β，则两弧之和或两角之和为α＋β。由术语内矩分正弧，次内矩分为余弧。由勾股值，戴震上述表达可写作：Rsin（α＋β）=R RRsin cos α· β＋R RRcos sin α· β=R（sinαcosβ＋cosαsinβ）故sin（α＋β）=sinαcosβ＋cosαsinβ。所谓较弧即指两角之差�