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RRcos sin α· β=R（sinαcosβ＋cosαsinβ）故sin（α＋β）=sinαcosβ＋cosαsinβ。所谓较弧即指两角之差。戴震上述表达的另一部分可写作Rsin（α…β）=R RRsin cos α· β…R RRcos sin α· β=R（sinαcosβ…cosαsinβ）故sin（α…β）= sinαcosβ…cosαsinβ最后的等式表明，戴震表达的“两角和之内矩分”与两角和的次内矩分”、“两角差的次内矩分”与现代数学中的cos（α＋β）、cos（α…β）的等值式公内容完全一致。戴震的中法说明完全合乎西法。
戴震在此第十三术中，还举例说明两角和与两角差的正弦、余弦值的广泛使用。在戴震看来，源于实用的勾股，其原理不管多么复杂，当即还之实用，这是贯穿全书的数学应用思想。值得注意的是，戴震还讲了勾股割圆的历史发展，讲述了梅文鼎和薛凤祚成就和不足。戴震认为，古代割圆法之深入的论述（如本节十二术己是较深的割圆术）“书缺失传”，元时授时历有“弧矢割圆图”，但仅讲了“共半弧背之勾股，小大互求”。这无疑是勾股割圆的基础，可由此推广到一切复杂的使用，但很可惜，没有深入下去。戴震对这一基本原理十分重视，他认为：“实足以尽割圆之理，凡小大可互求者未有非共半弧背者也。”数学史的发展至于彼之晚近，戴震说：近人殚精此学，如梅定九、薛仪甫诸家兼通西洋之说，有八线表、平三角、弧三角等法，虽别立名目，于古之勾股弧矢不异。惜译书时欲张其说，凡一语可该，必衍为千百言，多其端绪，使观之者目眩而莫测其涯涘，又讳言立法之本出于勾股弧矢，转谓勾股不能御三角，三角不能御勾股。以梅氏考论之，详于平三角举要，论三角形用正弦，为比例之理，凡为图者十，而不能知其为“共半弧背之勾股”，其他大抵类此。
在戴震看来，梅文鼎并没有将西学的平面三角和中学的勾股割圆很好地结合起来，对此他很不满意。诚然，这里有些误会②。但戴震中西结合的学术思想是明确的。在具体表述上，科学的选择还是选择了西学的三角函数式。最根本的原因还是使用方便，尤其在进一步的深层连锁推理中，简明灵便的三角函数式较为优越，戴震的割圆术成了科学史研究的对象，但正象使用莱布尼兹微积分并不否定牛顿的奇勋那样，戴震的勾股术与三角学相比较，同样正确，有同等的功效，有同样的应用价值，只是没有形成系统配套的代数式构成的计算体系，仅限于这一点，或许可以说，戴震割圆术较之三角学还缺少点儿什么：那就是爱因斯坦所说的逻辑的简单性和数学的简单性原则。
14、实际上是讲正弦定理，戴震以西名注之云：“今名两角夹一边求余角余边，所知两角不夹所知之一边术同。”《记》上云：“有正弧及对正觚之距，有对所有一距之觚规限（按：度数），求其距：以对所求一距之觚规限内矩分乘对正觚之距，正弧内矩分除之，得所求之距。”
按：设圆内接三角形ABC 三边长为a、b、c，据戴震题意，已知即∠A，a， ∠B，求b 的长度。戴震的解法是：sinsinB aA·=b，可改写成：aA sin=bB sin，故谓戴勾股十四术是正弦定理。
15、仍为正弦定理。戴以西名注之曰：“今名两边一角，角有所对之边，求余角余边。”《记》上：“有正弧及对正觚之距，有对所求一觚之距，求其弧规限；以对所求一觚之距乘正弧内矩分，对正觎之距除之，得所求之觚规限内矩分（此即前术转而用之）。”
按：用上图，据题意，已知即∠A，a，b，求∠B。戴震的解法是：b Aasin=sinB，可改写成bB sin=aA sin，故谓戴勾股十五术仍为正弦定理。
① 《勾股割圆记》，见《安徽丛书》第六期《戴东原先生全集》② 梅氏《平三角举要》自序中说：“新历之妙，全在弧三角，然必先知平三角而后可以论弧三角，犹之必先知勾股而后可以论平三角也。乃举要义次为五卷。”梅氏《平三角举要》是我国数学家自著三角学。16、第十六术，戴以西名注之曰：“今名两边夹一角求余角余边，用梅氏切线分外角法。”此题并不复杂①。困难的是对戴震的中法解释加以证明。《记》上：“和两距一觚规限，所知之两距旁于所知之觚，其觚曰本觚，规限曰本觚（按：疑当为‘弧’字）。减本弧于圆半周，余为所求两觚规限之和（吴曰今名外角），半之为两弧之半和。以所知两距之较，乘两弧之半和矩分，两距之和除之，得两弧之半较矩分。以半和半较相加，得对大距之觚规限。若相减则得对小距之觚限。既知三觚两距，则如前第十四术得对本觚之距。”
按：如图，已经a，b，C，求c 即AB 的长度，∠A、∠B。今解法可用“两边夹一角求第三边”的公式（见前页注释）求出c，然后用十四术讨论的正弦定理求∠A、∠B。按戴震的说法，“两距之较”指b…a，“两弧之半和矩分” 即tgB C ＋2， “ 两弧之半较矩分” 即tgB C …2。由截说： 则（ ） b a tgB Ab a…＋＋2 = tgB A …2，（b…a）tgB A ＋2=（b＋a）tgB A ＋2经笔者用三角函数正切半角公式证明①，此式是成立的，故戴说是正确的。至于求∠B 和∠A，戴说：“以半和（按：指B A ＋2）半较（按：指B A …2）相加，得对大距之觚规限（按：即∠B 的值），若相减得对小距之觚规限（按：即∠A 的值）。”即∠B=B A ＋2＋B A …2，A=B A ＋2…B A …2从而求得∠B 和∠A，戴震这一解法是同义反复，由未知求未知，不可能得∠A 和∠B 的，因而是错误的。故戴震紧接着求∠B 和∠A 所说的：“既知三觚两距，则如前第十四术（按：正弦定理）得对本觚之距，”也就无法落实。正确的解法，显见应是首先利用已知a、b和∠C，用解斜三角形余弦定理法求得AB 即C，然后用正弦定理得A、B 两角。在《勾股割图术》中卷，戴震将天体视运动轨道黄道、赤道及其交角、经度、纬度问题化作球面勾股弦问题，即西法的球面三角。中卷的割圆术全部是解球面直角三角形，经用解球面三角形公式验证，戴震球面勾股弦解法完全正确。例《记》中十八术，戴云：有经度，有经弧，求纬度：以经度欢矩分乘经弧矩分，圆半径除之，得纬度次内矩分。按题意，设球面直角三角形ABC，弧为a、b、c，角A、B、C，C 为直角，已知经度A，经弧a，求解纬度B 的余弦。戴震的结论是cosB=ctgA tgaR·① 已知△ABC 中，边长a；b；夹角C，求边长c；则c2=a2＋b2…2abcosC证明：在球面直角三角形ABC 中，cosB=tga ·ctgc ctgc=ctgARcosB=tga·ctgAR=ctgA tgaR·《勾股割圆记》下卷全部是球面斜三角形的勾股弦解法，经验证，全部合乎球面斜三角形的三角函数解法。例如第四十五术，是球面三角的正弦定理，戴云：以对正觚之距内矩分，乘对所求一距之觚内矩分，正觚内矩分除之，得所求之距内矩分。此外，球面的勾股解法中由两弧夹一角求对弧，两角夹一弧求对边，由三角求三弧，由三弧求三角，验之球面三角公式，无一不是正确的。
戴震的《勾股割圆记》，以特有的方式系统推演了平面三角形和球面三角形的勾股原理，大大发展了自《周髀》以来的勾股弦求法，戴震的传统勾股学以其个人的努力达到了同时代的平面三角和球面三角函数学的水平，是一了不起的奇迹。明清之际，我国传统的研究因西学的传入而趋于中断，戴震崛起于日趋衰落的中法数学之坛，把传统数学的研究推向一个新的或许是最后一个高峰，这是数学史上弘扬民族文化的盛事。戴震之所以能如此，与他继承传统数学，视《九章算术》、《海岛算经》等为可贵，又努力吸收西学，力求洋为中用有密切关系，二者舍其一都不可能达到勾股学的高峰。四、戴震天文研究中的科学哲学问题戴震在对天体视运动作广泛研究的基础上，反思了一个带普遍性的问题：客观存在的实体、运动、运动规律问的关系。从天体的客观存在到天体的运动，戴震所作的视运动的描述已可看出他最基本的立足点：天体是实在的客体，这一客体处于不断的运动之中。这一观点，从他对研究天文的目的看法也可看出，他认为，习天文的目的是适应农业生产的需要。他说：“古者小民咸识天象，仰瞻星汉，用知时节而趣耕作。《夏小正》、《月令》诸书示农事女工弗怠缓也。”①自然物的客观存在，以及客观存在的运动，二者决不可分割，这是唯物主义者从事自然研究的一个基本立足点，戴震从事天体视运动研究本身表明，他相信：宏观宇宙的实体的客观存在与实体的自身的运动是不可分割的，虽然戴震描述的仅仅是天体运动的投影即天体的视运动，但这视运动研究已足以表明：实体的自身的运动是客观存在着的。
其次是运动和运动规律的关系问题。对这一问题的普遍的一般的抽象成为世界观的内容的组成部分，在门类科学中，对这一问题的反思显然是科学哲学的一项重要内容。戴震对此的回答是：“日月星运行有常。”②这就是说，日月星辰有属于它自身的一般运行规律。正因为如此，戴震探讨了许多有关天体视运动的规律及其应用，特别是岁差这一法则。一部《续天文略》，自始至终讲天体视运动及其法则，且岁差问题几乎无处不在。有关戴震对视运动规则的列举和探讨，前面已谈得很多，值得注意的是，戴震还反思了对运动及其规则的量度问题。恩格斯曾说过，运动当从它的反面静止来量度，“平衡是和运动分不开的”①，“运动表现于它的反面”②。对天体视运动的量度问题，戴震在反思视运动和运动规则的关系的基础上，认为量度天体视运动是人类自身就客观对象作出的主观设定，他说：天本无度，步算家设度以推测日月星之行，古法三百六十五度四分度之一（古岁实三百六十五日四分日之一，略举大致耳，盖随宜修改，不与天争时）。每昼夜日右旋一度，度也者，行而过之之名，今用三百六十整度，则每昼夜日行不及一度，虽失名度之义，算器无妨用之。此拟《周髀》制矩，故用古刻法为度法，得名度者日左旋一刻所度也。要说明天体视运动状况，当然得量度，从量的方面说明之，而量度的度的本身是人类自身设定的，“天本无度，步算家设度以推测日月之行”，戴震举了自古以来对岁实的一些量度说明之，这一问题的提出和反思，是近乎本体问题的思索的。正如数学是世代系列的人类客观实践的产物一样，度尽管是人类自身主观设定的，它的设定仍然是有客观标准的，它无疑也是客观和主观相统一的人类实践的产物。作为哲学家和科学家的戴震，不免能接触到和把握这类问题，他既指出“天本无度”，又指出对天体的测度有客观存在的物体、对象、公认的计数法为客观参照物，他说：① 《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版127 页。
② 同上。
① 恩格斯《自然辩证法》，人民出版社1971 年版224 页。
② 恩格斯《反杜林论》，人民出版社1970 年版59 页。
③ 《勾股割圆记》下，载《安徽丛书》第六期《戴东原先生全集》。
《洪范》五纪，一日岁，二日月，三日日，四日星辰，五日历数。分至（按：春分、秋分、夏至、冬至）启闭，纪于岁者也。朔望胐霸（按：新月生明），纪于月者也。永短昏听，纪于日者也。列星见伏昏旦中，日月躔造，纪于星辰者也。盈缩经纬，终始相差，纪于历数者也。纪于岁者，察之日行发敛。纪于月者，察之日月之会，交道表里。纪于日者，察之昼夜刻漏，出入里差。纪于星辰者，察之十有二次，暨星与黄、赤道相值。纪于历数者，察之圭槷（按：测日影的圭表）。随时测验，积微成著，修正而不失。引文中的“纪”有“以某某为准绳进行测度，量度”之意，这段文字，恰恰是体现运动和量度间的关系的文字，我国古代丰富的辩证思想本来就是渗透到自然科学中的，戴震对运动量度问题的探讨与他对古代辩证法的继承是分不开的。
戴震在研究古天文时，对岁差的阐述及其应用是最主要的成就。戴震研究了岁差的发现过程，认为岁差是祖冲之发现并精确测定的①，在《续天文略》中则进一步认为是晋虞喜发现的，他说：“晋虞喜云，尧时冬至，日短星昂，今二千七百余年，乃东壁中，则知每岁渐差之所至，后代言岁差始此。”对岁差产生的原因，戴震仅从视运动给予解释，没有触及地绕日公转中日月对地球的引力摄动这一实质，他说：岁差者以日星相较，而差非天行有差�