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墨子与墨家-第12章

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本条接上一条杠杆而言。讲挈与收两种力量。挈,上提。收,下曳。仮,挈与收用力相反,薄,迫、逼。挈与收用力相反,故曰“说在薄”。关于力的方向的分析,提出“挈有力也”,“引无力也”的看法。

杠杆一头悬物,一头悬权。悬物一头往下坠,必然使秤砣一头上扬。这是“长重者下,短轻者上”。

绳直是指悬物及秤砣的绳与秤杆垂直。这样就等于平衡。这就是“绳直权重相若,则正矣”。

挈与收相反,如果物过重,物下坠,权上升。下坠是收力,上升是挈力。下坠越有力,上升越无力。这就是“上者愈丧,下者愈得;上者权重尽,则遂挈”。

(8)輲车

《经下》:“倚者不可正,说在剃。”

《经说下》:“两轮高,两轮为輲车梯也。重其前,载弦其前。载弦其轱,而悬重于其前,是梯。挈且挈则行,凡重,上弗挈,下弗收,旁弗劫,则下直,扡或害之也。'氵不'梯者不得'氵不'直也。今也废石于平地,重不下,无旁也。若夫绳之引轱也,是犹自舟中引横也。”⑤

这一段是说輲车的制作与原理。这种车的特点是前低后高。又叫梯车。在车的前方(后轮之前)置以重物。一拉(挈)一推(掣)即可行走,不太费力,所以叫做“挈且挈则行”。因车自己有前重的特点,所以上面不用提(上勿挈),后边不用拉(下勿收),旁边不用推(旁无劫),就可以顺利行走。如果有偏斜就妨碍行走了。

“今也废石于平地”应移后。上面的实验,用绳子拉车和江中行船时用绳子拉着走是一个道理。所以说“若夫绳之引轱也,是犹自舟中引横也。”

(9)引力

《经下》:“堆之必柱,说在废材。”

《经说下》:“堆,竮〔ping平〕石絫(累)石,其(耳)夹'宀下帚'(寝)者(堆)柱也。方石支地石,关石于其于(下),悬丝于其上。使适至方石。不下,柱也。胶丝去石,挈也。丝绝,引也。未变而名易,收也。”

解一:这一节是说运动的理论。经文比较简单,只是说堆材需要支撑。经说比较复杂,它说:a垒石块,下设支柱;b以丝系石,下至方石。抽掉支柱,方石悬空不动,这是靠丝的挈力;c 石重丝断,石头坠下,这是引力;d 上提之力叫挈,下送之力叫收。

解二:本条在于说明建筑过程,废是放置,材是石料。'立并',并的繁文。絫,通作累。耳,佴的省文。副,贰。'宀下帚',寝的省文。庙制,中为太室,即寝。夹室之前的堂为耳。平地,即平的地基。丝,匠人用的墨线。方石即标准石。柱是“定屋脚”。去石,指去掉石的多余部分。引是引满,补充。名易的易是平正,收是成就。

这一段的意思是说:建筑,先开始奠基。调集石材,设计厢房,夹室,这一过程是“堆”。然后立石于平地上,以距地一尺为标准。石过大的要裁减,这是挈。过小的要补,这是引。合适的叫做收。

按照这一意见,《经说下》文应是:“堆,'立并'石,絫石,耳夹'宀下帚'者,堆也。柱也。今也废石于乎地,方石去地尺,关石于其下,悬丝于其上,使适至方石石下,柱也。胶丝去石,挈也。丝绝,引也。未变而名易,收也。”

(10)力均

《经下》:“均之绝否。说在所均。”

《经说下》:“均,发均悬。轻重而发绝,不均也。均,其绝也,莫绝。”

这是研究弹性力学的问题。列子也讲这一问题。《汤问》篇说:“均发均悬轻重而发绝。发不均也。均也,其绝也,莫绝。”还举例说,“人以为不然,自有知其然者也。詹何(楚人,善钓,闻于国)。以独茧丝为纶,芒针为钩,荆条为竿,剖粒为饵,引盈车之鱼。”《仲尼》篇又说:“发引千钧,势至等也。”可见这在古代是一个较为普及的辩题。

经文是说,以发悬重,是否会断,关键在于是否均匀。对于均匀,单丝有均匀与否的问题,一束也有同样的问题。如果轻重不等,就不是均匀,不均匀处必然会断裂。颜道岸教授指出,这一命题的提出,是以实验为基础的。没有多次艰苦的实验,很难有这样的认识。

——————

注释:

①形与刑通用。形,今言物体。所以,原因。奋,本义为飞,这里作运动解。重,即力量。举,舆的省文。下坠也有力,地球的引力就是下坠之力。

②从,纵也、送的意思。祭,同际。偏祭,一侧。瑟,门闩。闩住门,就开不了。无闩,门才可启动开阖。

③极,横木,横绳。“中”、“重心”。而,读为能。左右校交绳。在左右两校柱之间栓的绳子。横木,扁担。

④奥,衡的古文,原文误作天,衡,今之秤杆。权,今之秤砣。这是讲杠杆,杆必须平,故引申有平衡的意思。捶,垂的繁文,下坠。秤的结构,提挈是支点,秤盘一头是重点,秤砣为力点。

⑤輲车,一种四轮车。前轮小,后轮高。梯也,即梯者。第二“戴”字与“再”同。“是梯”以下是说明驾车的技术。凡重,是梯车前面的重量。上指前,下指后。拖,同迤,斜也。害,读为遏。'氵不', 古文流字。此处借为“疏”。 疏梯者,说疏于驾梯之人。'足旁',傍,倚□'看不清字'。横,同桄,舟前木。说驾车要操纵自如,正像驾船一样。

第三节 墨学对数学的贡献

墨子是伟大的逻辑学家。它一方面借用逻辑研究数学,同时也借用数学研究逻辑。墨子的数学成就包括基本概念和几何学的内容。现举例说明:

(1)整体与部分的关系

《经上》:“体,分于兼也。”

《经说上》:“体,若二之一,尺之端也。”①

经文:兼是全体,体是部分。

经说:体与兼的关系,很像二与一的关系,又很像尺与端的关系。在墨子的数学理论中,尺是几何学的线,端是几何学的点。因此,如果把尺比作兼,端正好比作点。如以二与一相比,二是兼,一是体。即二为一之兼,一兼为二之体。尺为端之鉴,端为尺之体。

(2)平行线

《经上》:“平,同高也。”

图 19

《经说上》:“谓台执者也,若兄弟。”②

这一条讲两线平行的原理。如果AB与FG平行,EK、CD是两条平行线的垂线,则CD=EK。

(3)解释径同长

《经上》:“同长,以相尽也。”

《经说上》:“同,捷与狂之同长也。”③

这一条是说,穿过圆心的径线是同长的,犹如门楗与门框同长。图20的直径AB=CD。

图 20

(4)圆的定义《经上》:“圆,一中,同长也。”

《经说上》:“心中,自是往,相若也。”

心中即中心。圆的中心即圆心。“自是往”即自中心往,就是半径之长。“相若”即相等,半径等长。图21说明从O到A、B是等长,即“中,同长也”。《经上》和《经说上》的内容,既是圆的定义,也是作圆的方法,简单、明了、适用。

图 21

(5)方形(不限于正方形)

《经上》:“厚,有所大也。”

《经说上》:“厚,惟无所大。”

图22是一个长方体。ABCD是一个平面BF是厚,也是高。有了厚,才有体积,所以说:“厚,有所大也。”。

图 22

如果只讲A、B、C、D,它只有平面,没有厚,因而只有面积,没有体积。所以说:“厚,惟无所大。”《庄子·天下》说:“无厚不可积也”,就是这个道理。

(6)圆三径一

《经上》:“直,参也。”

《经说上》:无。

这一条无经说。对它有两种可能的解释:

一是认为墨家关于圆三径一的界说。故“直”前应有圆字。全文应是“圆,直参也”。或与“圆,一中同长也”合成一条。中国古代“参”的用法不同于三,而是三分之一。

二是认为它不是欧几里得原理,这不是用“两点之间最短的路径”,为直线作解释。而是用“三点排列”,视线重合作直线定义……这样的解释,以视线为直线。这不是数学的解释,而是物理的解释。

(7)圆的作法

《经上》:“圆,一中同长也。”

《经说上》:“圆,规写交也。”交,原误作攴。④

如图23 中,AB、CD都是直径,圆心是O,以O为圆心,就可以做出圆的图形。

图 23

(8)方形的作法《经上》:“方柱隅四讙〔huan欢〕也。”

《经说上》:“方,矩写交也。”⑤

这个图形(图24)可以用矩画出来。这就是“矩写交也”。但画出的图形不一定是正方形。

图 24

AB、BC、CD、DA是四柱。∠A、∠B、∠C、∠D是直角。此图即是“柱隅四讙”。

(9)倍数

《经上》:“倍为二也。”

《经说上》:“倍,二尺与尺,但去一。”⑥

这个命题是说:倍是一的自加。二尺与一尺,只不过是二尺减去一而已。

(10)点

《经上》:“端,体之无序而最前者也。”

《经说上》:“端,是无同也。”

端是几何学上的点,是线的顶端,所以说,端是“体之无序而最前者也”。又因它的前方更无其他,它处于最前,所以“是无同也”。它既在“最前”,就不参与排列的顺序,所以说“无序”。端,应理解为最前点。

(11)中

《经上》:“有间,中也。”

《经说上》:“有闻,谓夹之者也。”⑦

这一条说明有间是有中的,像门框一样,夹着中有二间。

图 25

A、B、C三者各为一间。甲、乙为中,中的两侧是间。甲是中,AB是间,夹着中。

(12)间

《经上》:“间,不及旁也。”

《经说上》:“间,谓夹者也。尺前于区穴,而后于端,不夹于端与区穴,及,及非齐之及也。”⑧

本条是说,间不涉及两旁,间就是离中的夹者,像几何学的线,独立存在,不夹在点和面之内(及,不是齐等之齐)。

(13)'纟卢'〔lu卢〕

《经上》:“'纟卢',间虚也。”

解一:《经说上》:“'纟卢',间虚也者。两木之间,谓其无木者也。”这里是线缝,是虚的。'纟卢',无厚之面。间虚,说只有长、广而无厚,是间之虚。

解二:是二间之中的虚线。虚是两木之间,无木的夹缝。

(14)盈

《经上》:“盈,莫不有也。”

《经说上》:“盈,无盈无厚。”

盈,器满则盈。故说“莫不有”。尽,器中空。器空则尽,故说“莫不然”。厚,有长、宽、高的立体。莫不有,即长、宽、高俱备。盈,充实弥满,无所不有。“无盈”当于无厚处求之。无厚者至小无内。

(15)撄

《经上》:“撄,相得也。”

《经说上》:“撄,尺与尺俱不尽,端与端俱尽,尺与(端)或尽或不尽,坚白之撄相尽,体撄不相尽。”⑨

撄,体积的增加。增加后成为新的体积,所以说“体盈不相尽”。尽,即一致。线与线长短不一,故曰“不尽”。点与点没什么不同,故曰“为尽”。至于点与线,因线由点组成,就点而论,它有尽,就线而论,就不尽。

(16)仳〔pi匹〕

《经上》:“仳,以有相撄。”

《经说上》:“仳,两有端而后可。”

解一:仳,并,比。几何学的割线。相撄,即相交。一体分割为二,成为两体。它与割线相交,是为相撄。如果两体已经分离,就是不相撄。说“仳,有两端而后可”,是割线的界说。

解二:仳,比的繁文。以,和谓同义。从有两端看,是比较线段的长短。

撄是黏合。比较线段的长短有黏合与不黏合两种。图26甲,A线短,B线长。把A线放在B线之上,AB即是长出之数。这是黏合。图26乙,用圆规,以DA为半径,在BD线测量,使AD、CD都等于A线长,这时A、B线不黏合。

图 26

解三:《经上》:“似,有以相撄,有不相撄也。”

《经说上》:“似,两有端而后可。”

似,应作仳。有,应作目。似,即几何学的相似形。相似形有相撄不相撄两种。

图27,△AOB、AOC都相似,而又相撄。各边都可叠合。但△ABC与△AOB和△AOC只相似,不相撄,因不能重合。比较相似,必须有两个条件相等,所以说“故两目端而后可”。

图 27

∠A为直角。AB=AC,AO是从A至BC的垂线,O是圆心,AO、OB、OC是半径。

(17)次

《经上》:“次,无间而不相撄也。”

《经说上》:“次,无厚而后可。”

解一:次,即几何学所谓相切。撄,即几何学所谓相交。相交,即属割线。二体相切时,其中没有间隔,也不相交。所以说“次,无间而不相撄也”。“无厚而后可”,也是切线。切线与圆相交,只有一个切点。

图 28

CB线是圆的切
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