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我们可以用目前所讨论的例子很好地来说明这个意义。我们可以首先试着把速度、速度的改变和力等概念推广到沿着曲线运动的情况里去。在科学术语上，当我们讲到曲线的时候，已把直线包括进去了。直线是曲线的一种特殊的、平凡的例子。因此，如果速度、速度的改变和力被引用于曲线运动，那么它们就自发地被引用于直线运动。但是这个结果不应跟以前所得到的结果相互矛盾。如果曲线变成直线，那么所有推广了的概念都必须化成描述直线运动的已熟知的概念。但是要惟一地确定这个推广，这样一个限制是不够的。根据这个限制来推广一个概念，还存在很多种可能性。科学的史实指出，就是最简单的推广也有时成功，有时失败。我们必须首先作一个猜测。在目前这个例子里，很容易猜出正确的推广方法。新的、推广了的概念是非常成功的，它既帮助我们理解抛在空中的石子的运动，还帮助我们理解行星的运动。
“速度”、“速度的改变”和“力”在曲线运动的普遍情况里表示什么意思呢？我们首先说速度。如果一个很小的物体沿着曲线从左至右运动，这样的小物体通常被称为一个质点。在图８中，曲线上的点表示质点在某个时刻的位置。在这个时刻和这个位置的速度是怎样的呢？伽利略的线索又指引我们走向引出速度的那条路上去。我们必须再一次使用我们的想象力去想象一个理想实验。质点在外力的影响下沿着曲线从左至右运动。我们想象在给定的时间以及在图９上点子所表示的位置上，所有的外力突然都停止作用了。那么，根据惯性定律，运动应当是匀速直线的。实际上，我们自然不能使物体完全不受外界的影响。我们只能作这样的推测：“假使……，结果会怎样？”，再根据这样推测所得出的结论来判断我们的推测是否恰当，而且根据这些结论是否和实验相符来判断。
在图10中的矢量表示当外力消失时所猜测的匀速运动的方向，这就是所谓切线方向。通过显微镜来看运动着的质点，人们可以看见曲线的很小部分，它显现为很小的直线段。切线就是它的延长线。因此图上画出来的矢量就代表在给定时刻的速度，速度矢量就在切线上，它的长度就代表速度的数值，或者就像代表汽车的速率计上所表示的速率一样。
将运动加以破坏来寻求速度矢量的这个理想实验不能把它看得太认真，它只是帮助我们懂得应该把什么东西称为速度矢量，并使我们能确定出在给定时间和给定点的速度矢量。
在图10中画着一个质点沿一根曲线运动时在３个不同位置上的速度矢量。在这个例子中，不仅速度的方向，而且速度的数值（如矢量的长度所示），在运动中都是时刻在变化的。
这个新的速度概念是否满足在一切推广中所提出的要求呢？换句话说，假使曲线变成了直线，它是否也简化为以前的速度概念呢？很明显，确实是这样的。直线的切线就是这根直线本身。速度矢量就隐伏在运动的线路上，正像运动着的小车和滚着的圆球的情况一样。
其次便要介绍沿着曲线运动的质点的速度的改变。这也可以有各种不同的方法，我们选择其中最简单和最方便的。图10中画出的几个速度矢量代表路线上各不同点上的运动。其中前面的两个矢量和后面的两个矢量可以再画成为使它们从同一点出发（图11），我们已经知道，对矢量来说，这样做是可以的。我们把虚线表示的矢量称为“速度的改变”。它的起点是第一个矢量的末端，而终点是第二个矢量的末端。乍一看来，这个速度的改变的定义似乎不真实而且没有意义。在矢量1和2的方向相同这一特殊情况，这个定义就非常清楚了（图12）。自然，这又回到直线运动上去了。如果这两个矢量具有相同的起点，那么虚线表示的矢量仍然是把它们的终点连接起来。图12和图6完全相同，而以前的概念便成了新概念的一种特殊情况。应该指出，在图中把两根线分开是因为假如不这样的话，它们就重合在一起，分辨不出来了。
现在我们来进行推广的最后一步。到目前为止，在我们所作的猜测中，这将是最重要的一个。力和速度的改变之间的联系必须这样建立起来：它能够使我们找出一个线索来了解运动的普遍问题。
解释直线运动的线索是非常简单的：外力产生了速度的改变，外力的矢量其方向跟速度改变的方向相同。然而现在应该把什么看作是曲线运动的线索呢？完全一样！仅有的差别是现在速度的改变的意义比以前更广泛了。我们只要对图１０和图１１中的虚线矢量看一下，就能清楚地得到启示。如果曲线上的每一点的速度都已知道，那么每一点的力的方向便可以立刻找出来。我们必须取相距的时间间隔极小的两个时刻，因而相应的两个位置也极相近，于是把这两个速度矢量画出来，连接第一根矢量的末端与第二根矢量的末端的这根矢量表示作用力的方向。但是重要的是，两根速度矢量只能并必须是由“极短”的时间间隔来分隔。对“极近”、“极短”这一类词义作严格的分析是非常不容易的。就是这样的分析使牛顿和莱布尼兹（Leibnitz）发明了微积分。
把伽利略的线索加以推广的过程是冗长而曲折的，我们在这里不能叙述这个推广的结果是如何的丰富和有益。用上了它以后，使许多在过去互不关联的和不能理解的事情都得到简单而又圆满的解释。
从各种各样的运动中，我们只选择那最简单的，并用刚才所表述的定律来解释它。
枪筒里射出来的子弹，斜向地抛出去的石子，水管里射出来的一股水，它们所行经的路线都成为大家所熟知的抛物线。设想在石子上附加一个速率计，那么石子在任何时刻的速度矢量都可以画出来。这一结果在图１３中充分地表示出来了。作用在石子上的力的方向就是速度改变的方向，而我们已经知道怎样可以决定它。图１４中指出了作用在石子上的力是铅直的，且朝下，这正和我们使石子从塔顶上掉下时完全一样。路线和速度都完全不同了，但是速度改变的方向却都是相同的，那就是，它们都朝向地球的中心。
把一个石子缚住在一根绳子的末端，并在水平面上挥动它，于是它就沿着圆周运动。如果速率不变，那么表示这种运动的图中所有的矢量的长度都相等（图15）。然而速度矢量不断地在改变，因为运动的路径不是直线的。只有在匀速直线运动中才没有任何外力的作用。然而这里速度不是在数值方面改变而是在方向方面改变的。根据运动定律，这种改变必定是由某些外力所引起，而在这个例子中则是由于作用于石子与握绳的手之间的外力所引起的。于是立刻又发生了一个问题：力在哪一个方向上作用呢？我们用矢量图来回答，如图16所示，把两个非常靠近的点的速度矢量画出来，这样就可以找到速度的改变。可以看出，这个矢量沿着绳子朝向圆周的中心，并且永远是跟速度矢量或切线相垂直的。换句话说，手通过绳子对石子加了一个力。
月球围绕地球的转动便是和这完全相似的更重要的一个例子。月球绕地球的转动可以近似地认为是匀速圆周运动。作用在月球上的力是指向地球的，这和前例中力是朝向手的道理一样。地球与月球并没有用绳连接起来，但是我们可以想象在两个物体的中心之间有一根线，力便在这根线上，并朝向地球的中心，这正如石子抛向空中或从塔顶落下时的力一样。
前面我们对运动所说的一切，可以用一句话总括起来：力与速度的改变是方向相同的矢量。这是运动问题的初始的线索，然而它必然尚不足以彻底解释一切观察到的运动。从亚里士多德的思想方法转变到伽利略的思想方法，这个转变已成为科学基础的最重要的一块基石。这个转机一旦实现，以后发展的路线就很清楚了。这里我们只注重于发展的最初阶段，即注重于查究最初的线索来指出新的物理概念在它与旧概念的斗争中是如何产生出来的。我们只提到科学上的开创性工作，包括寻找新的和未预见到的科学发展道路，以及能创造出一个永远变化着的宇宙图景的科学思想的奇迹。最初和最基本的步骤总是带有革命性的，科学的想象力发现旧的概念太狭窄了，于是用新的概念去代替它。沿着已经开辟了的任何一种思想路线而继续进行的发展，在到达下一个需要去征服新的领域的转折点以前，是带有进化性的。可是为了了解哪些原因和哪些困难迫使我们改变根本的概念，我们不仅要知道最初的线索，而且还要知道从这些线索中可以推出什么结论来。
现代物理学的最重要的特征之一，是从最初的线索所推出来的结论，不仅是定性的。而且是定量的。我们重新来研究从塔上掉下来的石子。我们已经知道，石子愈往下掉，它的速度愈增加。但是我们还要知道得更多一些，比如这个改变正好多大呢？在它开始掉下来以后的任何一个时刻，石子的位置和速度是怎样的呢？我们希望能够预言事件的结果，并且用实验来决定观察的结果是否确认这些预言，是否确认最初的假设。
要得出定量的结论，我们必须运用数学的语言。科学的最基本的观念，按其本质来说，大都是简单的。因此，一般说来，可以用一种每个人都能懂的语言来表达。但是要领悟这些观念，却需要极高深的侦察技术知识。如果我们要推出能和实验结果作比较的结论，我们必须用数学作为推理的工具。由于本书只讨论基本的物理学观念，我们可以避免数学的语言。因为在本书中我们一贯避免数学，所以为了了解在进一步发展中所产生的重要线索，我们有时必须限制自己只引用未加证明的一些结果。放弃数学语言所必须付的代价，便是要失去一些精确性。而且有时得引用一些结果，却不能说明它们的由来。
运动的一个非常重要的例子就是地球围绕太阳的运动。大家都知道，它运动的路线是一个被称为椭圆的闭合曲线。作出速度的改变的矢量图证明了作用在地球上的力指向太阳。但是无论如何，仅有这一点知识是不够的。我们希望能预测太阳及其他行星在任何时刻的位置，我们希望能预测下一次日蚀的日期和时间以及许多的天文现象。所有这些事都能做到，但不是单靠最初的线索就够了，因为必须知道的不仅是力的方向，还要知道它的绝对值，即它的数值。牛顿在这方面作了一个富有想象力的猜测。根据他的引力定律，两个物体之间的引力与它们彼此间的距离有一种很简单的关系：当距离增加时，力便减小。再说得确切些，就是当距离增加到２倍，力便减小到２ｘ２=４倍，当距离增加到３倍，力便减小到３ｘ３=９倍。
由此可知，在万有引力方面，我们能够用很简单的形式把运动物体之间的力跟距离的关系表示出来。在所有其他场合遇到各种不同的力，例如电力、磁力之类的作用时，我们也以同样方法处理。对于力，我们想用一种简单的表达方式来解释。这种表达方式是否恰当；只要看从它推断出来的结论是否为实验所确认。
但是单有引力的知识还不足以描述行星的运动。我们已经知道，表示很短时间问隔内的力和速度的改变的矢量，它们的方向是相同的，但是我们必须再往前追随牛顿一步，假定它们的长度之间有一种简单的关系。如果所给的其他一切条件都相同，就是说，同一个运动的物体，而且通过相同的时间间隔来考察速度的改变，那么，按照牛顿的说法，速度的改变正比于力。
因此为了得出关于行星运动的定量的结论，需要两个补充的猜测。一个是一般性质的，说明力和速度改变之间的关系。另一个是特殊性质的，说明这种特殊类型的力和物体之间的距离的关系。第一个就是牛顿关于运动的普遍定律，第二个是他的引力定律。两个定律结合起来就能决定行星的运动。用下面听来似乎很笨拙的一些推理就可以把这个意思弄清楚。假设我们能够测出行星在一定时刻的位置和速度，并且力也是已知的，那么，根据牛顿定律，我们便知道在非常短的时间间隔内的速度的改变。知道了初速度和速度的改变，我们就可以求出行星在这个时间间隔的末时刻的速度和位置。连续地重复这个过程，我们就可以不必再求助于观察资料而把整个运动路线求出来。从原则上来说，这是力学上预测一个运动物体行经路线的方法，但是用在这里是非常不合适的。在实用上，这种逐步进行的手续是极端冗烦而且是极