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凡此数事，皆足订《授时》之误。今撮大要着于篇，以备治历者之参考焉。
至《授时》用平方、立方以求盈缩迟疾差，犹开方之旧术，用天元一御弧矢起数于围三径一，亦失之疏。若以弦矢求弧背，前后失均，象限以内差而多，象限以外差而少，此又不能为前人讳者也。
《历经》、《历议》，皆守敬所撰。世祖招李谦为《历议》，润色其书而已，谦不能作也。札马鲁丁之《万年历》，实即明人所用之回回历，《明史》详矣，不具论。
蒙古初无历法。太祖十五年，驻跸撒马尔干城，回鹘人奏五月望月蚀。中书令耶律楚材以《大明历》推之，太阴当亏二分，食甚在子正，乃未尽初更而月已蚀。是年二月、五月朔，微月见于西南。楚材以旧历不验，遂别造《庚午元历》。据《大明历》减周天七十三秒，岁差亦减七十三秒。以中元庚午岁，国兵南伐，天下略定，推上元庚午岁天正十一月壬戌朔子王冬至，为太祖受命之符。又以西域、中原地逾万里，依唐僧一行里差之说，以增损之。东西测侯，不复差式。乃表上于行在曰：“汉、唐以来，经元创法不啻百家，其气候之早晏，朔望之疾徐，二曜之盈衰，五星之起伏，疏密无定，先后不同。盖都邑之各殊，或历年之渐远，不得不差也。唐历八徒，宋历九更，金《大明历》百年才经一改。此去中原万里，以昔程今，昔密今疏，东微西着。今二月、五月朔，微月见于西南，较之于历，悉为先天。”自汉、唐以来历算之书备矣。俱无此说。是年正月、四月虽皆为小尽，然亦未有朔日见月者也。是时，太祖方用兵西域，其书不果颁用。
楚材尝言，西域历五星密于中国，又作《麻荅历》，今不传。楚材父履在金末作《乙未元历》，楚才益本其文之书，更名为《庚午元历》云。
至世祖至元四年，西域人札马鲁丁用回回法撰《万年历》，帝稍采用之。其法为默特纳国王马哈麻所造历，元起西域阿刺必年，即随开皇己未，不置闰月，以三百六十五日为一岁。岁十二宫，宫有闰日，凡百二十八年宫闰三十一日，以三百五十四日为一周，周十二月，月有闰日，凡三十年月闰十一日。历千九百四十一年，宫月日辰再会。此其立法之大概也。
十三年，世祖平宋，诏前中书左丞许衡、太子赞善王恂、工部郎中郭守敬，立局改治新历。先是，太保刘秉忠以《大明历》辽、金承用岁久，浸以后天，议修正之。已而秉忠卒，事遂寝。至是，世祖思用其言，遂命询与守敬率南北日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨源、王素、岳铉、高敬等，分掌测验、推步，以衡能推明历理，俾参预之。
守敬首言：“历之本在于测验，而测验之器莫先仪表。今司天浑仪，宋皇佑中汴京所造，不与此处天度相符，比量南北二极，约差四度。表百年深，亦复欹侧不可用。”乃尽考其失，而移置之。既又别图爽垲，以木为重棚，创作简仪、高表，用相比覆。又以为天枢附极而动，昔人尝展管望之，末得其的，作候极仪。极辰既位，天体斯正，作浑天象。象虽形似，莫适所用，作玲珑仪。以表之测天之正圆，莫若以圆求圆，作仰仪。古有经纬，结而不动，守敬则易之，作立运仪。日有中道，月有九行，守敬则一之，作证理仪。表高景虚，罔象非真，作景符。月虽有明，察景则难，作窥几。历法之验，在于交会，作日月食仪。天有赤道，轮以当之，两极低昂，标以指之，作星晷定时仪。以上凡十三等。又作正方案、九表、悬正仪、座正仪，凡四等，为四方行测者所用。又作仰规、覆矩图、异方、浑盖图、日出入永短图，凡五等，与上诸仪互相参考。
十六年，改局为太史院，以赞善王恂为太史令，守敬为同知太史院事，给印章，立官府。是年，奏进仪表式样，守敬对御指陈理致，一一周悉。自朝至于日晏，上不为倦。
守敬奏：唐一行开元间令天下测景，书中见者凡十三处。今疆宇比唐尤大，苦不远方测验，日月交食分数时刻不同，昼夜长短不同，日月星辰去天高下不同；可先南北立表，取直测景。上可其奏。遂设监候官一十四员，分道相继而出。
先测得：南海：北极出地一十五度。夏至景在表南长一尺一寸六分，昼五十四刻，夜四十六刻。衡岳：北极出地二十五度。夏至日在表端无景，昼五十六刻，夜四十四刻。岳台：北极出地三十五度，夏至景长一尺四寸八分，昼六十刻，夜四十刻。和林：北极出地四十五度，夏至景长三尺二寸四分，昼六十四刻，夜三十六刻。铁勒：北极出地五十五度，夏至景长五尺一分，昼七十刻，夜三十刻。北海：北极出地六十五度，二至景长六尺七寸八分，昼八十二刻，夜一十八刻。继又测得：上都：北极出地四十三度少。大部：北极出地四十二度强，夏至晷景长一丈二尺三寸六分，昼六十二刻，夜三十二刻。益部：北极出地三十七度少。登州：北极出地三十八度少。高丽：北极出地三十八度少。西京：北极出地四十度少。太原：北极出地三十八度少。安西府：北极出地三十四度半强。兴元：北极出地三十三度半强。成都：北极出地三十一度半强。西凉州：北极出地四十度强。东平：北极出地三十五度太强。大名：北极出地三十六度。南京：北极出地三十四度太强。阳城：北极出地三十四度太。扬州：北极出地三十三度。鄂州：北极出地三十一度半。吉州：北极出地二十六度半。雷州：北极出地二十度太。琼州：北极出地十九度太。
十七年，新历告成。守敬上奏曰：
臣等窃闻帝王之事，莫重于历。自黄帝迎日推策，帝尧以闰月定四时成岁，舜在璇玑玉衡以齐七政。爰及三代，历无定法，周秦之间，闰余乖次。西汉造《三统历》，百三十年而后是非始定。东汉造《四分历》，七十余年而仪式备。叉百二十一年，刘洪造《乾象历》，始悟月行有迟速。又百八十年，姜岌造《三纪甲子历》，始悟以月食冲检日宿度所在。又五十七年，何承天造《元嘉历》，始悟以朔望及弦定大小余。又六十五年，祖冲之造《大明历》，始悟太阳有岁差之数，极星去不动处一度余。又五十二年，张子信始悟日月交道有表里，五星有迟疾留逆。又三十三年，刘焯造《皇极历》，始悟日行有盈缩。又三十五年，傅仁均造《戊寅元历》，颇采旧仪，始用定朔。又四十六年，李淳风造《麟德历》，以古历章元首分度不齐，始为总法，用迸朔以避晦晨月见。又六十三年，僧一行造《大衍历》，始以朔有四大三小，定九服交食之异。又九十四年，徐昂造《宣明历》，始悟日食有气刻时三差。又二百三十六年，姚舜辅造《纪元历》，始悟食甚泛余差数。以上计千一百八十二年，历经七十，改其创法者十有三家。
自是又百七十四年，钦惟圣朝统一六合，肇造区夏，专命臣等改治新历。臣等用创造简仪、高表，凭其测到实数所考正者凡七事：一曰冬至。自丙子年立冬后，依每日测到晷景，逐日取对，冬至前后日差同者为准，得丁丑年冬至在戌日夜半后八刻半。又定丁丑夏至，得在庚子日夜半后七十刻。又定戊寅冬至，在癸卯日夜半后三十三刻；己卯冬至、在戊申日夜半后五十七刻半；庚辰冬至，在癸丑日夜半后八十一刻半。各减大明历十八刻，远近阳符，前后应准。二曰岁余。自刘宋《大明历》以来，凡测景验气得冬至时刻真数者有六，用以阳距，各得其时合用岁余。今考验四年，相符不差。仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年，每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分。其二十五分为今历岁余合用之数。三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔，得冬至日躔赤道箕宿十度，黄道箕九度有畸。仍凭每日测到太阳躔度，或凭星测月，或凭月测日，或径凭星度测日，立术推算。起自丁丑正月，至己卯十二月，凡三年，共得一百三十四事，皆躔于箕，与月食相符。四曰月离。自丁丑以来至今，凭每日测得逐时太阴行度推算变，从黄道求入转极疾并平行处，前后凡十三转。计五十一事，内除去不真的外，有三十事。得大明历入转后天，又因考验交食加大明历三十刻，与天道合。五曰入交。自丁丑五月以来，凭每日测到太阴去极度数，比拟黄道去极度，得月道交于黄道，共得八事。仍依日食法度推求，皆有食分得入时刻，与大明所差不多。六曰二十八宿距度。自汉代初历以来，距度不同，互有损益。大明历则于度下余分附以太半少，皆私意牵就，未尝实测其数，今新仪皆细刻周天度分，每度为三十六分，以距线代管窥宿度余分，并依实测，不以私意牵就。七曰日出入昼夜刻。《大明历》日出入昼夜刻，皆据汁京为准，其刻数与大都不同。今更以本方北极出地高下、黄道出入内外度，立术推求每日日出入昼夜刻，得夏至极长，日出寅正二刻，日入戌初二刻，昼六十二刻，夜三十八刻，冬至极短，日出辰初二刻，日入申正二刻，昼三十八刻，夜六十二刻；永为定式。
所创法凡五事：一曰太阳盈缩。用四正定气立为升降艰，立招差求得每日行分初末极差积度，比古为密。二曰月行迟疾。古历皆用二十八限，今以万分日之八百二十分为一限，凡析为三百三十六限，依垛叠招差，求得转分进退，其迟疾度数逐时不用，盖前所未有。三曰黄赤道差。旧法以一百一度相减相乘。今依算术勾股弧矢方圆斜直所容，求到度率积差差率，与天道实为吻合。四曰黄赤道内外度。据累年实测内外极度二十三度九十分，以圆容方直矢接勾股为法求每日去极，与所测相符。五曰白道交周。旧法黄道变推白道，以斜求斜。今用立浑比量，得用与赤道正交，距春秋二正黄赤道正交一十四度六十六分，拟以为法。推逐月每交二十八宿度分，于理为尽。
诏赐名曰授时历。十八年，颁新历于天下。
十九年，守敬以推步之式与立成之数皆无定稿，乃着《推步》七卷、《立成》二卷、《历议拟稿》三卷、《转神选择》二卷、《上中下三历注式》十二卷，表上之。二十年，又诏太子谕德李谦就守敬之《历议稿》重加修订，以阐新历顺天求合之理。
大德三年八月朔，时加巳依新历日食二分有奇，至其时不应，台官皆惧。保章正齐履谦曰：“日当食不食，古有之。况时近午，阳盛阴微，宜当食不食。”遂考唐开元以来当食不食者凡十事以闻。六年六月朔，时加戌依新历日食五十七秒，众以涉交既浅，且近浊，欲匿不报。履谦曰：“吾所掌者常数也。其食与否，则系于天。”独以状闻。及其时，果食。盖高远难穷之事，必积时累验，乃见端倪。《授时历》推日食之法，较前之十三家最密矣，然尚不能无数刻之差。故元之一代，日食四十有五，推食而不食者一，食而失推者一，夜食而误昼者一。履谦谓：食与否系于天，足犹泥前人当食不食，不当食而食之谬说，诬莫甚矣。
泰定间，履谦为太史院使，以《授时历》行五十年未尝推考，乃日测晷景并晨昏五星宿度，自至治三年冬至、泰定二年夏至天道加时真数，各减见行历书二刻，撰《二至晷景考》二卷。《授时》虽有经串，而经以着定法，串以纪成数；求共法之所以然，数之所从出，则略而不详；作《经串演说》八卷，以发明其蕴焉。
时鄱阳人赵友钦推演《授时》之理，着《革象新书》五卷，号为新历之学。
其《历法改革篇》曰：“历法由古及今，六十余术矣。汉太初粗为可取，然犹疏略未密。唐一行作大衍术，当时以为密矣，以今观之，犹自甚疏。盖岁浅则差少未觉，久而积差渐多，不容不改，要当随时测验，以求真数。
其《日道岁差篇》曰：“统天术谓周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒，周岁三百六十五日二十四分二十五秒，百年差一度半，然又谓周岁渐渐不同，上古岁策多，后世岁策少，如此则上古岁差少，后世岁差多。当今术法謜之，立减加岁�