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挥腥魏斡幸庖宓氖笛橹С�3。但是这并不是说，其中不会有一个将戏剧性地升格为有用的甚至超等的范畴去的理论。 其中某些的确包含有许多相当有前途的、富有创见的思想，但是，可惜迄今仍然没有得到实验的支持，而只停留在观念阶段。尝试类是一个非常宽广的范畴。它们其中有些牵涉到包括能导致新的实质性的理解上的进步的基因，同时我认为其他的一些肯定是误导的或做作的。（我曾经受不了诱惑，试图从可尊敬的尝试类中分出称作误导的的第四类――但是后来我想还是不分的好，因为我不想失去我的一半朋友！）超等的理论主要是古代的，人们不必为此感到惊讶。在整个历史上一定有过多得多的归于尝试类的理论，但是多数都被遗忘了。与此相似，许多有用类的理论后来也被湮没了；但是也还有一些被吸收到后来归于超等类的理论中。让我们考虑一些例子。在哥白尼、开普勒和牛顿提出优越得多的方案之前，古希腊人提出过一个十分精巧的行星运动的称作托勒密系统的理论。按照这一方案，行星的运行由圆周运动的复杂组合所制约。它能相当有效地做预言，但是在需要更高的精度时，变得越来越繁复。今天我们看来， 托勒密系统的的人为因素显得非常突出。 这是一个有用理论 （实际上大约用了两千年）后来整个退出物理理论的极好例子，虽然它曾在历史上起超过很重要的组织作用。相反地，开普勒的辉煌的椭圆行星运动的观念便是从有用的理论变成我们能见到的最终成功的例子。 化学元素的门捷列夫周期表是另一个例子。它们并没有提供具有“惊人”特征的预言方① 几乎是这样的，但也不完全；空间探测器行为所需的精度实际上需要在对它们的轨道计算时计入广义相对论效应――存在有能在地球上定位到如此精确（事实上达到几英尺）的仪器，以至于广义相对论的空间――时间曲率效应的确必须考虑在内！案，但是后来成为从它们成长出来的超等的理论的“正确”的推论（分别为牛顿动力学和量子理论）。在以后的章节中， 我不再对仅仅归于有用的和尝试的范畴的现代理论多加讨论。因为超等理论已足够讨论的了。我们有这等理论，并能以非常完整的方式理解生活其中的世界，确实是非常幸运的。我们最终必须决定，甚至这些理论是否足够丰富到能制约我们头脑和精神的作用。我将依序触及这些问题；但目前让我们先考虑超等理论并深入思考它们和我们目的相关联之处。欧几里德几何欧几里德几何即是我们在中学当作“几何”学习的学科。然而，我预料大部分人会将其视作数学，而不视作物理。当然，它也是数学。但是，欧几里德几何决不是仅有的可以想得出的数学几何。欧几里德传给我们的特殊几何非常精确地描述了我们生活其间的世界的物理空间，但这不是逻辑的必然――它仅仅是我们物理世界的（几乎准确的）被观察的特征。
图5。1（a）欧几里德空间中的一个三角形。
（b）罗巴切夫斯基空间中的一个三角形。
的确还存在另外称作罗巴切夫斯基（或双曲）的几何①，它大部分方面非常像欧几里德几何，但还具有一些有趣的差别。例如，我们记得在欧几里德几何中任意三角形的三个角的和为180°。在罗巴切夫斯基几何中，这个和总是比180°小， 并且这个差别和三角形的面积成比例 （见图5。1）。著名的荷兰艺术家毛里兹？ C？伊歇为这种几何给出了一种非常精细和准确的表象（见图5。2）。按照罗巴切夫斯基几何，所有的黑鱼具有相同的大小和形状；类似地，白鱼亦是如此。不能将这种几何在通常的欧几里德平面上完全精密地表达出来，所以在圆周边界的内缘显得非常拥挤。想象你自身位于该模型的某一靠近边界的地方，罗巴切夫斯基几何使你觉得就象位于中间或任何其他地方一样。 按照这一欧几里德表象， 该模型的 “边界”正是罗巴切夫斯基几何中的“无穷远”。此处边界圆周根本不应该被看成罗巴切夫斯基空间的一部分――在圆周之外的任何其他的欧几里德区域就更不是了。（这一罗巴切夫斯基平面的天才表象应归功于彭加莱。它卓越的优点在于，非常小的形状在此表象中不被畸变――只不过它的尺度被改变。）该几何中的直线（伊歇鱼就是沿着其中某些直线画出的）即为与边界圆周作直角相交的圆弧。我们世界在宇宙学的尺度下，实际上很可能是罗巴切夫斯基空间（参阅第七章376页）。然而，在这种情形下，三角形亏角和它的面积的比例系数必须是极为微小。在通常的尺度下，欧几里德几何是这种几何的极好的近似。事实上正如我们在本章将要看到的，爱因斯坦的广义相对论告诉我们，在比宇宙学尺度小相当多的情形下，我们世界的几何的确与欧几里德几何有偏离（虽然是以一种比罗巴切夫斯基几何更复杂的“更无规”的方式），尽管这偏离在我们直接经验的尺度下仍是极为微小的。
图5。2罗巴切夫斯基空间的伊歇图。（所有黑鱼和白鱼都认为是全等① 参阅费因曼（1985）关于QED 理论的通俗解释。欧几里德几何似乎精确地反映了我们世界 “空间”的结构的这一事实，作弄了我们（以及我们的祖先），使我们以为几何是逻辑所必须的，或以为我们有种先天的直觉的领悟， 欧几里德几何必须适用于我们在其中生活的世界。（甚至伟大的哲学家伊曼努尔？康德也作此断言。）只有爱因斯坦在许多年以后提出的广义相对论真正地突破了欧几里德几何，欧几里德几何远非逻辑所必须的，它只是该几何如此精确地 （虽然不是完全准确地）
适合于我们物理空间结构的经验的观测事实！ 欧几里德几何确实是一个超等的物理理论。这是它作为纯粹数学的一部分的精巧性和逻辑性以外的又一个品质。
在某种意义上，这和柏拉图（约公元前360年；大约在欧几里德著名的《原本》一书出版之前五十年左右）采纳的哲学观点相差不远。依柏拉图观点，纯粹几何的对象――直线、圆周、三角形、平面等等――在实际的物理世界中只能近似地得到实现。而那些纯粹几何在数学上的精确对象居住在一个不同的世界里――数学观念的柏拉图的理想世界中。柏拉图的世界不包括有可感觉的对象，而只包括“数学的东西”。我们不是通过物理的方法，而是通过智慧来和这个世界接触。只要人的头脑沉思于数学真理，用数学推理和直觉去理解，则就和柏拉图世界有了接触。这个理想世界被认为和我们外部经验的物质世界不同，虽然比它更完美，但却是一样地实在。（回顾一下我们在第三章113页和第四章129页关于数学概念的柏拉图实在性的讨论。）这样，可以单纯地用思维来研究欧几里德几何，并由此推导其许多性质，而外部经验的“不完美的”世界不必要刚好符合这些观念。基于当时十分稀少的证据，柏拉图以某种不可思议的洞察力预见到：一方面，必须为数学而研究数学，不能要求它完全精确地适用于物理经验的对象；另一方面，实际的外部世界的运行只有按照精确的数学――亦即“智慧接触得到的”柏拉图理想世界才能最终被理解。柏拉图在雅典创建了科学院以推动这种观念。极富影响的著名的哲学家亚里斯多德即为其中之出类拔萃者。但是我们要在这里论及另一位比亚里斯多德名望稍低的科学院成员，即数学家兼天文学家欧多索斯。依我看来，他是一位更优秀得多的科学家，也是古代最伟大的思想家之一。欧几里德几何中有一基本的、微妙的并的的确确最重要的部分，那就是实数的引进，虽然今天我们几乎不认为它是几何的（数学家宁愿将它称作“分析”的，而非“几何”的。）因为欧几里德几何研究长度和角度，所以必须了解用何种“数”来描写长度和角度。新观念的核心是在公元前四世纪由欧多索斯（约公元前408至355年）②提出的。
② 我在这儿是指大爆炸的“标准模型”，还有许多大爆炸理论的变种，目前最流行的是所谓的 “暴涨模型”，由于毕达哥拉斯学派发现了像 这样的数不能被表达成分数，使得希腊 2几何陷入了“危机”之中（参阅第三章第94页）。将正方形的对角线，以其边长来度量时就必然出现 这个数。对于希腊人来说，为了用算术的 2定律来研究几何量，将几何测量（比）按照整数（比）来表示是很重要的。欧多索斯的基本思想是提供一种以整数表达长度比例的办法（也就是实数）。他依赖于整数的运算提出了决定一个长度比例是否超过另一个比例，或两者是否完全相等的判据。
该思想可概述如下：如果a，b，c和d是四个长度，则断定比例a/b大于比例c/d的判据是：存在整数M和N，使得a增大到N倍超过b增大到M倍，而同时d增大到M倍超过c增大到N倍①。可用相应的判据来断定a/b是否比c/d小。所寻求的使a/b和c/d相等的判据也就是前两个判据都不能满足！
直到十九世纪，狄得钦和韦尔斯特拉斯等数学家才发展出完全精确的抽象的实数数学理论。 但是他们的步骤和欧多索斯早在22个世纪以前已经发现的思路非常相似！我们在此没有必要描述这个现代发展。在第三章第95页我已给出了这个理论的模糊暗示。但是，为了更容易表达，我宁愿在这里用更熟悉的小数展开的方法来讨论实数理论。（这种展开实际是在1585年才由斯蒂文引进的。）必须指出，虽然我们很熟悉小数表达方式，但希腊人却对此无知。图5。3托勒密定理然而，在欧多索斯设想和狄德钦――韦尔斯特拉斯设想之间有一个重大差别。古希腊人把实数设想成按照几何量 （比）的给定的东西，当作 “实际”空间的性质。希腊人用算术来描述几何量是为了要严格地处理这些量以及它们的和与积――亦即古人这么许多美妙几何定理的要素的先决条件。（我在图5。3画出并解释了杰出的托勒密定理――虽然托勒密比欧多索斯要晚许久才发现它――该定理和一个圆周上的四点之间的距离相关，它很清楚地表明了和与积都是需要的。）历史证明欧多索斯判据极其富有成果，尤其是它使希腊人能严格地计算面积和体积。
然而，对于十九世纪尤其是当代的数学家而言，几何的作用已被改变了。古希腊人，尤其是欧多索斯，认为“实”数是从物理空间的几何中抽取出来的东西。现在我们宁愿认为在逻辑上实数比几何更基本。这样的做法还可以允许我们建立所有不同种类的几何，每一种几何都是从数的概念依我看来，它无疑地是属于尝试的范畴之中！
① 尼古拉？伊凡诺维奇？罗巴切夫斯基（1792―1856）是几位独立发明这种和欧几里德几何不同的几何中的一个人。其他人是卡尔？弗里德里希？高斯（1777―1855），菲迪纳德？施维卡德和雅诺斯？波里埃。出发。（其关键的思想是十六世纪由费马和笛卡尔引进的座标几何。座标可用来定义其他种类的几何。）任何这种“几何”必须是逻辑协调的，但不必和我们经验的物理空间有任何直接的关联。我们似乎感知的特别物理几何是经验的理想化（例如，依赖于我们将其向无限大或无限小尺度的外推，参阅第三章第99页）。但是现代的实验已足够精密，以至于我们必须接受 “经验的” 几何的确和欧几里德观念有差别的这一事实 （参阅242页）。
这种经验和从爱因斯坦广义相对论推导的结果相一致。然而，尽管我们的物理世界的几何观点起了变化，欧多索斯二十三世纪之久的实数概念在实质上并没有改变。它对爱因斯坦理论正如对欧几里德理论一样重要。其实，迄今为止它仍然是一切严肃物理理论的重要部分。欧几里德的《原本》的第五部基本上是关于欧多索斯“比例论”的阐述。这对整本书而言是极为重要的。全书首版于公元前300年的《原本》的确必须列为有史以来最具深远影响的著作之一。它成为后来的几乎所有科学和数学思想的舞台。它全部是由一些被认为空间的“自明”性质，亦即清楚叙述的公理出发演绎而来，其中许多重要推论根本不是显而易见的，而是令人惊异的。无疑地，欧几里德的著作对后世科学思想的发展具有深刻的意义。
阿基米德（公元前287―212）无疑是古代最伟大的数学家。他天才地利用欧多索斯的比例论，计算出诸如球体，或者更复杂地牵涉到抛物线和螺线的许多不同形体的面积和体积。今天我们可以用微积分十分容�