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个定义得非常好的方向上具有大的角动量。可由宏观测量把这个方向｜α＞确定下来。这就违反了自旋态｜α＞的基本的不可测量性。
然而，如果我们准备去破坏原先的态，则复制便成为可能。例如，我们有一处于未知的自旋态｜α＞的电子和另一处于另一个自旋态｜γ＞的中子。将它们交换使中子自旋态为｜α＞而电子态为｜γ＞是完全合法的。我们所不能做的是复制｜α＞，（除非我们预先知道｜α＞实际上为何态）！（还可参阅伍特斯和朱列克1982。）
我们记得在第一章（29页）讨论过“远距运送机器”。这机器，原则上依赖于在遥远的行星上有可能拼装出一个人的身体大脑的复制本。一个人的“所知所闻”可以依赖于一个量子态的某些方面，这是一个令人感兴趣的猜想。若果真如此，则量子力学禁止我们去复制“所知所闻”而不破坏原先的态。远距离搬运的“矛盾”可望以这种方式得到解决。量子效应和大脑功能的可能关联将在最后两章考虑。光子自旋让我们在下面考虑光子的“自旋”以及它和黎曼球面的关系。光子具有自旋，但是因为它们总是以光速运动，人们不能将自旋认为是围绕于一个固定点；相反地自旋轴总在运动的方向。光子自旋称之为极化，这就是“偏振片”太阳镜的行为所根据的现象。把两偏振片重叠在一起并透视之。
一般地讲，你会发现有一定量的光透过去。现在使其中一片不动而旋转另一片，通过的光量会发生变化。在一个方向上，穿透的光达到最大，第二偏振片实际上并没减少穿透的光量；在与此垂直的方向上，第二偏振片可使通过的光量减少到零。按照光的波动图像最容易理解所发生的现象。在这里我们需要用马克斯韦的光波的振动电磁场描述。图6。26画出了平面偏振的光。电场在一个称为极化面的平面上上下振动。而磁场在一个垂直于电场振动的平面上振动，电磁场相互共振。每一偏振片让极化面和偏振片结构相平行的光通过。当第二个偏振片的结构和第一个指向一致时，所有通过第一偏振片的光就会通过第二偏振片。但是，当它们结构的方向相互垂直时，第二偏振片就将通过第一偏振片的光全部阻拦住。如果两个偏振片的指向夹角为j时，则第二偏振片让cos2j部分的光通过。图6。26平面偏振的电磁波。
在粒子表像中，我们应该把每一单独光子认为是具有偏振的。第一偏振片的行为像一个偏振度测量器。如果光子的确在一个合适的方向偏振，它就给出是的答案，并让光子通过。如果光子在与此相垂直的方向偏振，则答案为非，光子就被吸收。（注意在希尔伯特空间中的“正交”并不对应于通常空间中的“夹直角”！）假定光子通过了第一偏振片，则第二偏振片就会问相应的问题，但是对于某个其他的方向。如果两个方向的夹角为j， 我们现在就有cosj2作为已经通过第一偏振片的光子通过第二偏振片的概率。黎曼球面和这些有何相干呢？为了得到偏振态的全部复数系列，我们必须考虑圆的和椭圆的偏振。图6。27画出了经典波动的情形。圆偏振时电场旋转，而不是振荡。磁场仍然和电场成直角并同步地旋转。椭圆偏振可看成旋转和振动的结合，而描写电场的矢量在空间划出一个椭圆。在量子描述中，每一单独光子允许这些不同极化的方式――光子自旋的态。
如何在黎曼球面上将所有这些可能性表示出来呢？想象一个垂直向上运动的光子。现在北极代表右手自旋的态｜R＞，这表明当光子通过时电场矢量以反时钟方向绕着垂直的轴旋转（从上面看）。而南极代表左手自旋的态｜L＞。 （我们可以把光子想象成像来福枪子弹一样自旋，或是右旋或是左旋。一般的自旋态｜R＞＋q｜L＞是这两种态的复线性组合，它对应于黎曼球面上标出的一点。为了求出q和偏振椭圆的关系，我们首先取q的平方根 p：p = q。
然后在黎曼球面标出p而不是q。考虑通过球面中心的一个平面，该平面垂直于连接标上p的点和球心的直线。此平面和球面的交线为一圆周。我们将此圆周垂直投影就得了偏振椭圆（图6。28） 。q的黎曼球面仍然描述了光子偏振态的总体，但是q的平方根为之提供了空间实现。图6。27圆偏振电磁波。 （椭圆偏振是介于图6。26和图6。27之间的中间情况。）图 黎曼球面（现在是 的）也描述了一个光子的偏振态（指向 6。28 qq的矢量称为 。） 斯托克斯矢量我们可同样地将用于电子的同一个公式1/2（1＋cosθ）用于计算概率，只要我们把它应用于q而不是p。考虑一平面偏振我们首先在一个方向上，然后在另一和它夹j角的方向上测量光子的偏振。这两个方向对应于球面赤道上从中心看张角为的两个p值。因为p为q的平方根，所以q点在中心的张角为p点张角的两倍：θ=2j。这样，在第一测量结果为是后第二测量结果亦为是（亦就是通过第一偏振片的光子再通过第二偏振片）的概率为1/2（1＋cos2）这正是前面断言的cos2j…（可用简单的三角验证之）。乱这些描述。该因子是当我们要求｜→＞和｜←＞归一化时所引起的。大自旋物体对于具有多于两个基本态的量子系统，在物理上可区别的态的空间比黎曼球面更复杂。然而在自旋的情况，黎曼球面本身总是起着直接的几何作用。考虑以下 自旋为 × 的粒子或原子，让它处于静止。 有质量的 n / 2 h这样自旋就定义了一个n＋1态的量子系统。（对于一个无质量的，也就是以光速运动的自旋的粒子，譬如光子，正如上面所描述的，自旋总是一个两态系统。但是对于有质量的粒子，态的数目随着自旋而增加。）如果我们选择在某一个方向测量该自旋，会发现共有n＋1不同的可能的结果，此结果依自旋相对于该方向的指向而定。按照基本的单位h/2，在那个方向自旋的可能结果为n，n…2，n…4，…，2…n或…n。这样n=2时其值为2，0或…2；n=3时其值为3，1，…1或…3；等等。负值对应于自旋主要指向和所测量的方向相反的方向。在半自旋的情形，亦即n=1时，上述的值1对应于是，而值…1对应于非。
由于我不想企图在这里解释的原因，人们发现（马约拉纳1932，彭罗斯 ）对于 的自旋 （准确到一个比例系数）可唯 1987a n / 2 h 每一个自旋态一地由黎曼球面上的 （无序的） n 点的集合， 也就是从中心出发的n个 （通常不同的）方向表征（见图6。29）。这些方向由可能对此系统进行的测量所表征：如果我们在它们中的任一个方向测量自旋，则结果一定不会全在相反方向上，也就是给出值n，n…2，n…4，…2…n，但不会有…n。）在譬如上述电子的n=1的特殊情形下，这就是在上面描述中标以q的黎曼球面上的一点。但是对于大数值的自旋，正如我刚才描述的，图像变得更为精巧――虽然，由于某种原因，物理学家对此并不特别熟悉。
在这些描述中有些相当令人吃惊和困惑的东西。人们经常相信，当系统变得更大更复杂时，在某种适当的极限的意义上，原子（或基本粒子或分子）的量子描述就会过渡到经典的牛顿描述。然而，在实际情况中，这肯定是不对的。正如我们已经看到的，具有大角动量的客体的自旋态对应于大量的杂乱地撒开在黎曼球面上的点①。 我们可以把物体的自旋认为是由一大堆大小为一半的，方向由这些点决定的自旋所组成。这些结合态中只有很少情形，其大部分点集中在球面上的一个小区域中（亦即大部分半自旋近似地指向同一个方向）――这些才对应于人们通常在譬如板球等等经典物体处遇到的角动量的实际的态。我们也许会预料到，如果我们选择一个总角动量为某个非常大的数（按照单位 ）， h/ 2是处于“紊乱”的自旋态，那么某种类似于经典自旋的东西就会开始出现。
但是情况根本不是这样，一般地讲，具有大的总自旋的量子自旋态和经典① 这个客观性是我们认真采用标准量子力学形式的一个特征。在一种非标准的观点中，系统也许事先已 “知道”它将提供给任何测量的结果。还会带给我们物理实在的一种不同的显然客观的图像。态毫不相像！
图6。29对于一颗有质量的粒子， 一般的高自旋态可用指向任意方向的半自旋态的集体来描述。那么经典物理中的角动量的对应物是如何构成的呢？大多数大自旋量子态实际上不和经典的东西相类似，它们是每一个都类似于经典的（正交的）态的线性叠加。对此系统进行“测量”时，其状态（以某种概率） “跃迁”到这一个或那一个类经典的态上去。这种情形和系统的任何其他经典地可测量的性质相类似，而不仅仅是角动量。正是量子力学这个方面在一旦系统“到达经典水平”时即起作用。在后面我还要仔细讨论这些，但在讨论这么“大”或这么“复杂”的量子系统之前，我们必须对量子力学如何实际处理包含多于一个粒子的系统的古怪方式有些了解。多粒子系统很不幸，多粒子状态的量子力学描述是相当复杂的。事实上，它们会变得极其复杂。人们必须按照所有粒子各自所有可能的不同位置的叠加来思考！这导致可能状态的极庞大的空间――比在经典理论中的一个场大得多了。我们已经知道，甚至在单粒子的量子态，也即一个波函数即有一整个经典场的复杂性。这个图像（需要无限个参数才能指明）已经比粒子的经典图像（这里只需几个参数就能指明其状态――如果没有内部自由度，譬如自旋的话，实际上是六个，参阅第五章202页）复杂得很多。这似乎很糟糕。人们也许以为，必须用两个场来描述两个粒子的量子态。根本不是这回事！两个或更多粒子的状态的描述，正如我们将看到的，要比这个更精巧得多！
一个单独的（无自旋的）粒子的量子态由粒子所能占领的每一可能位置上的一个复数（幅度）所定义。粒子在点A有一幅度，在点B有一幅度，在点C有一幅度等等。现在考虑两个粒子。譬如，第一个粒子可能呆在A，而第二个粒子呆在B这种可能性必须有一幅度。另外，第一个粒子可呆在B，而第二个粒子呆在A，这也需要一幅度；或第一个粒子呆在B，而第二个粒子呆在C； 或者也许两个粒子都在A。 每一种可能都有一个幅度。 这样，波函数不仅仅是位置的一对函数（也就是一对场）；它必须是两个位置的一个函数！为了估计一个双位置的函数比二个单位置的函数复杂多少，我们可想象一种情景，只存在有限数目的允许位置的集合。假定只有十个允许的由（正交）态给定的位置｜0＞，｜1＞，｜2＞，｜3＞，｜4＞，｜5＞，｜6＞，｜7＞，｜8＞，｜9＞。
粒子态｜ψ＞为某种组合｜ψ＞=z0丨0＞＋z1丨1＞＋z2丨2＞＋z3丨3＞＋……＋z99＞，此处不同分量z0，z1，z2，…z9分别顺序提供了粒子在每一点处的幅度。十个复数指定了粒子的状态。对于双粒子状态，我们对每一对位置都需要一个幅度。共有102=100不同的（有序）位置对，所以我们需要一百个复数！如果我们只有两个单粒子态（亦即“位置的两个函数”而不是上面的“一个双位置的函数”），则我们只需要二十个复数。
我们可以把这一百个数标为z00；z01；z02；…；z09；z10；z11；z12；…z20…z99；以及把相应的（正交）基矢量标为12｜0＞｜0＞，｜0＞｜1＞，｜0＞｜2＞，…，｜0＞｜9＞，｜1＞｜0＞，…，｜9＞｜9＞。则一般的双粒子态｜ψ＞可写成｜ψ＞=z00｜0＞｜0＞＋z01｜0＞｜1＞＋…＋z99｜9＞9＞。此处态的“乘积”记号具有如下意义：如果｜α＞是第一个粒子可能的态（不必是位置态），而｜β＞为第二个粒子的可能的态，则断言第一个粒子的态为｜α＞以及第二个态为｜β＞的态可写作｜α＞｜β＞。可对任何其他的量子态而不必仅仅是单粒子态取“乘积”。这样，我们总是将乘积态｜α＞｜β＞（不必为单粒子的态）解释作描述以下事件的同时发生：
“第一系统处于态｜α＞而且第二系统处于态｜β＞”。
（可对｜α＞｜β＞｜γ＞等等进行类似的解释；见下面。）然而，一般双粒子态实际上并不具备这种“乘积”的形式。例如，它可以为｜α＞｜β＞＋｜ρ＞｜σ＞，此处｜ρ＞为第一系统的另一个可能的态，而｜σ＞是第二系统的另一个可能的态。此状态是一线性叠加；也就是第一个（｜α＞以及｜β＞）的同时发生加上第二个（｜ρ＞以及｜σ＞