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口很少大致平均分成两派的事实却引出了相反的结果，哪怕一个候选人或另一个候选人的微小优势都能戏剧性地降低出现平局的概率。因此，你不妨认为这个1/12000的数字是你可以在一场总统选举中发挥影响的概率的一个乐观估计。鉴于这些情况，你究竟还值不值得花时间投票呢？
要想弄清这个问题，我们先举一个具体例子。假定有一个候选人叫做“软心肠先生”，他许诺要将最低工资从每小时3。50
美元提高为5。00美元，而另一个候选人叫做“硬心肠先生”，则反对提高最低工资。假定你恰好有一份只付最低工资的工作，每年工作2000小时，你希望可以在保住这份工作的前提下提高工资，那么，“软心肠先生”能为你的钱包带来每年3000美元的增幅，“硬心肠先生”则做不到。4年时间这个数字就会变成12000美元。不过，你这一票可以带来这个结果的可能性只有1/12000，因此你从你这一票可能得到的收益只有1美元。假如你必须牺牲哪怕20分钟的有薪工作时间才能完成投票，那么你的投票并不值得。调查发现，大多数人认为他们闲暇时间的价值只有有薪工作时间的一半。因此，若是闲暇时间参加投票，超过40分钟就不值得了。
即便你不大可能改变投票结果，你仍然可以将你的声音加人到群众中去。不过，会不会有人听到呢？虽然1亿比0是一个一边倒的胜利，却没有一个明显的分界线，说明什么时候只要一张选票改变立场就会导致一边倒，从而取得胜利。还有，如果有足够多的人改变立场，一边倒的局势就会转为平局，继而转为失败，最后变成完全相反的一边倒。这个缺少分界线的理论可以追溯到希腊哲学家芝诺（Zeno）
，是他提出了这个有关一次取一颗沙砾而聚沙成塔的似是而非的理论。没有一颗沙砾可能将无塔变成有塔，这似乎不错，然而，足够的沙砾也可以将一个鼹鼠丘变成一座小山。一张选票好比一颗沙砾。很难想像单单这额外的一票怎么能够扭转别人对结果的看法。①①
哪怕某一个人对于结果的看法只是发生轻微改变，对一个广大团体施加的一个微小影响也仍然有可能变得大到足以起某种关键作用的地步。
这里我们看到，个人收益与成本的计算不是激励人们投票的决定性因素。不过，为了维持民主的正常运转，人们参加投票至关重要。这就是我们需要社会调节的原因。从小学的公民课程到选举前夕呼唤公民的爱国热情，社会总是想方设法使大家出来参加投票——即便每一个投票者本人对选举结果没有任何重大影响。②
在爱国热情并不足够的时候，法律就会要求人们参加投票，这正是发生在包括澳大利亚在内的其他几个国家的情况。
②
决定选举结果的一个更加廉价也可能更具代表性的方法大概是搞一个民意调查。现在的做法是搞一个冠冕堂皇的民意调查，任何人只要愿意参加就可以参加。统计学理论告诉我们，假如1万人的随机抽样调查的结果是一个候选人占有5％的优势（即获得5250张或更多张选票），那么，哪伯最后有1亿人投票，其投票结果发生逆转的概率也会不足l比100万。假如投票结果再接近一点，我们将不得不扩大民意调查的规模。虽然民意调查可能大大降低投票成本，但民意调查被滥用的可能性也很高。选择一个随机的投票者是一个难上加难的问题。
2 ．中点的选民
到目前为止，我们的重点一直放在具有两种选择的选举上，这一类型的选举除了投票（赞成）和不投票（赞成）两种选择外，再也没有什么策略可言。假如你决定投票，你就应该把票投给你最喜欢的那个候选人。这是因为，你的选票将在打破得票均势之际发挥最大作用，你当然希望自己的一票真实地反映你的偏好。③
对于具有两种以上选择的选举，需要决定的则是要不要投票以及投谁一票。这个时候，把票投给你最喜欢的那个候选人的策略不再是正确的选择。
③
这里再次出现了一种情况，即你可能会在乎候选人取得多大的胜利。具体而言，你大概希望你的候选人胜出，但只要胜出一点即可（出于诸如克制一下他的妄自尊大脾气之类的原因）。若是这样，你大概愿意在你相信他一定会赢的时候，选择把票投给他的对手。
在1984年的民主党党魁选举上，杰西·杰克逊（Jesse
Jackson）的支持者们遇到了利用选票发送信号的问题。他们早就估计到杰西不可能胜出。民意调查显示，加里·哈特（Gary
Hart）和沃尔特·蒙代尔遥遥领先。这时出现了一种激励，要求选民把票投给遥遥领先者，以免浪费自己的选票。这个问题到了1988年争取民主党总统候选人提名的时候更是变本加厉，因为当时有7个候选人竞争民主党总统候选人的资格。支持者们不想把自己的选票或竞选资助款项浪费在毫无希望的候选人身上。这么一来，那些宣布谁正领先的民意调查和媒体报道，就有了左右局势、使自己的预言变成现实的真正潜力。
还有一个理由可以说明选票为什么未必反映偏好。要想避免你的选票淹没在众人的选票里，一个办法就是别出心裁：选择一个极端的立场，与众人划清界限。谁若是认为这个国家过分自由化，可以把票投给一个温和保守派候选人。要么，她也可以转向极右派，支持林登·拉罗奇（Lyndon
LaRouche）。好比候选人作出妥协，采取中间立场那样，使自己的选票显得比实际意愿更极端可能符合某些选民的利益。这种战术只在一定程度范围内有效。假如你走过了头，大家会认为你是一个想入非非的疯子，结果没人理睬你的意见。关键在于，在能与理性外表相适应的范围内选择最极端的一种立场。
为了更确切地说明这一点，假定我们可以用0到100的横轴表示从自由派到保守派的不同程度，并将各候选人置于这条横轴上。青年斯巴达克联盟奉行极左路线，位于0附近，而林登·拉罗奇则采取最保守的立场，接近100
。选民通过在这条横轴选定一点表达自己的偏好。假定选举的胜者就是位于全体选民立场的中间值的候选人。你可以这么看待这一情况：通过谈判和妥协，领先的候选人的立场总会选在反映整个选举的中间值的一点上。讨价还价的本质在于提出折中方案解决分歧。
现在，假设你自己就是一个中间派：假如你能控制大局，你倾向于选择一个位于50的候选人。但结果可能是这个国家其实比中间值稍微倾向保守派那边一点。假如没有你，平均值可能达到60。具体而言，你就是每100个选民当中被抽出来参加民意调查，确定中间立场的那一个人。
假如你说出自己的真实偏好，候选人会调整自己的立场，转向（99x60＋50）/10059。9。反过来，假如你夸大自己的主张，说你想要0，那么最后结果就会变成59。4。通过夸大你的主张，你对候选人的立场的影响力提高了5倍。在这里，为维护自由主义而采取极端做法不是什么歪门邪道。
当然，你不是惟一一个这么做的人。所有其他低于60的自由派都会宣称自己想要0，与此同时那些高于60的保守派则会为100而奋斗。到了最后，选民会出现两极分化，虽然候选人还是愿意选择某个中间立场。妥协的程度取决于主张转向各种方向的选民的相对数量。
这种取中间立场的做法有一个问题，即希望同时将偏好的强度和方向考虑在内。人们在谈到方向的时候会有实话实说的激励，但在谈到强度的时候就会夸大其辞。同样的问题也出现在妥协的过程中：假如这就是解决分歧的法则，大家都会采取一个极端的立场。
解决这个问题的一个方案可以追溯到20世纪20年代和当时哥伦比亚大学的经济学家哈罗德·霍特林。与选择中庸或中间立场相反，候选人选择中点立场，在那一点上，希望这位候选人左倾或右倾的选民数目刚好相等。与中庸立场不同，中点立场并不取决于选民偏好的强度，只取决于他们偏好的方向。为了找出这个中点，候选人可以从0开始，不断向右移动，只要大多数选民支持这一移动。而在中点，支持继续向右的力量刚好被希望向左的力量抵消。
一旦某位候选人采取中点立场，没有任何选民再有任何歪曲自己偏好的激励。为什么？只有三种情况需要考虑：（1）倾向中点左边的选民；（2）刚好位于中点的选民；（3）倾向中点右边的选民。若是第一种情况，夸大左倾的做法不会改变中点的位置，因此这个立场算是最后确定了。这名选民可以改变结果的惟一办法就是支持向右移动，但这刚好与他自己的利益南辕北辙。而在第二种情形下，无论怎么说，选民的理想立场已经被采纳了，夸大自己的偏好不会带来任何好处。第三种情形与第一种情形相仿。再向右移对中点毫无影响，再向左移又会与自己的利益发生矛盾。
这一论点的阐述方式暗示了选民知道全体选民的中点在哪里，无论他本人处于该点右边还是左边。不过，愿意实话实说与究竟出现什么结果没有关系。你可以把上述三种情形当做三种可能性进行思考，之后就会意识到，不管出现什么结果，选民还是希望诚实表达自己的立场。采取中点立场的法则的优点在于，没有一个选民愿意歪曲自己的偏好；诚实投票是每一个人的优势策略。
采取中点立场的惟一问题在于它的应用范围非常有限。这一策略只在一切都可以简化为一维选择的前提下可以采用，比如对自由派和保守派的选择。不过，并非所有情形都可以这样简单划分。一旦选民的偏好超过一维，就不会再有什么中点可言。在这个时候，操纵这一体系的可能性就变成现实了。
3 ．天真的投票
最常用的选举办法是简单多数投票。不过，少数服从多数的结果具有似是而非的特征，首先发现这一现象的是两百多年前的法国大革命英雄孔多塞（de
Condorcet）侯爵。
为了纪念他，我们就用法国大革命作为背景，解释他提出的少数服从多数原则的根本矛盾之处。攻陷巴士底监狱之后，谁将成为法国的新平民主义领导者呢？假定有三个候选人竞选这个位置，分别是罗伯斯庇尔（Robespierre）先生、丹东（Danton）先生以及拉法日（Lafarge）夫人。人民划分为三个同等规模的集团，分别代表左、中、右，其偏好如表101
所示：表101左派的偏好 中间派的偏好 右派的偏好第一选择 丹东 拉法日 罗伯斯庇尔第二选择 拉法日 罗伯斯庇尔 丹东第三选择
罗伯斯庇尔 丹东
拉法日若是罗伯斯庇尔对丹东的选举，那么前者会以2比1的比分胜出。若是罗伯斯庇尔对拉法日的选举，后者会以2比1胜出。不过，换了是拉法日对丹东的选举，则丹东会以2比1胜出。因此，这里并不存在全面超出的胜者。谁将最后胜出，取决于哪一场选举最后进行。更常见的情况是，这样没完没了的循环使我们没有办法确认究竟哪种选择代表了人民的意愿。
若是投票循环包含在一个更大的问题中，事情就会变得更加复杂而难以处理。大多数人的意愿可能使每一个人都落得更糟糕的下场。为了说明这个问题，我们对上面提到的偏好进行更新和扩展。假定《白雪公主》里的七个小矮人成为一场选举的候选人。①
选民划分为三个同等规模的集团，分别为左、中、右。各个集团的偏好如表102 所示。
① 这个故事若与1988年民主党总统候选人初选前期有任何雷同，纯属巧合。
表102左派的偏好 中间派的偏好 右派的偏好第一选择 开心果 爱生气 糊涂蛋第二选择 喷嚏精 糊涂蛋 开心果第三选择 爱生气 开心果
磕睡虫第四选择 糊涂蛋 害羞鬼 喷嚏精第五选择 万事通 磕睡虫 爱生气第六选择 害羞鬼 喷嚏精 万事通第七选择 磕睡虫 万事通 害羞鬼
请注意，开心果、糊涂蛋、爱生气之间的循环次序与上面提到的罗伯斯庇尔、丹东、拉法日之间的循环次序完全相同。
假如我们从开心果对糊涂蛋的选举开始，糊涂蛋胜出，接下来爱生气击败糊涂蛋，喷嚏精又击败爱生气。然后磕睡虫击败喷嚏精，害羞鬼又击败磕睡虫，最后是万事通击败害羞鬼。真是出人意料。少数服从多数的投票结果使我们一路经过开心果、糊涂蛋、爱生气直到万事通，而与此同时每一个选民都认为开心果、糊涂蛋和爱生气其实都比万事通更好。
怎么会发生这样的事？上述选举的结果实际上都是三分之二多数胜出。那些支持胜出一方者，其地位可以提升1步，而那些支持失败一方者，其地位平均倒退4步。所有选民各赢4
，输2次，最后结果其实比最初情形净退了4步�