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为了分析的方便，我们假定这4个人均戴的是红色的帽子。这时候，一个局外人来到他们的群体当中，对他们说：“你们其中至少一位头戴的是红色的帽子。”当他说了这句话后，他问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人都说“不知道”；这个局外人第二次问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人又都说“不知道”。局外人第三次问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人又说“不知道”。局外人又问第四次：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”这时4个人均说：“知道了！”
你能知道为什么吗？
当局外人未宣布“至少一个人戴的是红帽子”时，这个事实其实每个人都知道了，因为每个人看到其他3个人的帽子都是红色的，但每个人不知道其他人是否知道这个事实，即这个事实没有成为公共知识。而当这个局外人宣布了之后，“至少一个人帽子是红色的”便成了公共知识。此时不仅每个人知道“至少一个人的帽子是红色的”，每个人还知道其他人知道他知道这个事实……
局外人第一次问时，由于每个人面对的其他3个人都是红色的帽子，每个人当然不能肯定自己头上的帽子是什么颜色，于是均回答“不知道”。此时，如果只有1个人戴红色的帽子，那么这个人因面对3个戴白色的帽子，他肯定知道自己的帽子颜色。因此，当4个人均回答“不知道”时意味着“至少有2人戴的是红色的帽子”，而且这也是公共知识。
当局外人第二次问时，如果只有2人戴的是红色的帽子，这2人就会回答说“知道”——因为他们各自面对的是1个戴红色帽子的人。由于每个人面对的是不止一个戴红色帽子的人，因此当局外人第二次问时，他们只能回答“不知道”。——此时的“不知道”，意味着“至少3个人戴红色的帽子”，并且它成为公共知识。
同样，局外人第三次问时，他们均回答“不知道”，意味着4个人均戴的是红色的帽子。因此，当局外人第四次问时，他们就知道宣布每个人头上均戴的是红色的帽子，于是，他们回答“知道”。
在这个过程中，当局外人首先宣布“其中至少一个人的帽子是红色的”，以及第二、第三、第四次回答的时候，无论是回答“知道”还是“不知道”——它们构成公共知识——构成所有人推理的前提，在这个过程中，每个人均在推理。
这就是“帽子的颜色问题”。本人将这个问题简化了。原来的问题比较复杂。它是这样的：
有一个游戏，有一个主持人和一群人（假定有n人），戴了两种颜色的帽子，每个人的帽子的颜色或者是红色或者是白色，但每个人不能看到自己的帽子的颜色却看得到其他人的帽子的颜色。游戏的主持人说：“你们中至少一个人的帽子是红色的。”主持人开始一次次地问：“你们知道不知道自己的帽子的颜色？”现在的问题是：当主持人问到第几次时，才有人说“知道”？并且多少人说“知道”？
据说，这个问题在20世纪曾风靡欧美。四、皇帝新装的新解读
我们都熟悉安徒生的童话《皇帝的新装》。
从前，一个皇帝爱穿漂亮的衣裳，有两个骗子对皇帝说，他们能做出世界上最漂亮的衣服，这衣服不仅华丽，而且穿上它后能知道谁是愚蠢的人，因为愚蠢的人是看不见这衣服的。皇帝相信他们的话，给了他们许多金子，让他们开始织布。两个骗子在织机旁煞有其事地忙碌着。皇帝派他的宠臣去看看工作的进度，然而他们惊呆了：天啊，我什么也看不见！他们想，难道我是愚蠢的人？我不胜任自己现有的权位？这是多么可怕的事啊！但好在其他人不知道。于是他们装着看见的样子，称赞布是多么多么的漂亮，骗子向他们描述衣服的色彩和图样，他们点头称是。回去后，他们将骗子的话汇报给皇帝。皇帝亲自来看衣服制作的进度，他也同样被眼前的情景惊呆了，因为他什么也没看见！事实上确实什么也没有。皇帝也怀疑自己是愚蠢的人，但他想，千万不能让别人知道我看不见衣服，千万不能让我的臣民知道我是愚蠢的人，于是他也同样夸赞起衣服来。
全城庆典的那天，骗子装模作样地赶好了衣服，皇帝脱掉了他原来的衣服，骗子做出给他穿衣服的样子。当骗子给皇帝穿好所谓的“新衣服”后，皇帝步出宫殿向他的臣民致意。皇帝什么也没穿，在大街上被他的臣子们簇拥着，他的臣民们都看着没穿衣服的皇帝，然而他们不敢承认，怕别人知道自己是愚蠢的人，他们不说自己看不到皇帝的衣服。
这时，一个小孩突然说：“其实皇帝什么也没穿啊！”这一声无疑是晴天霹雳。于是，老百姓私下传着这个天真无邪的小孩的话，人们开始相信小孩说的话是对的。皇帝也知道了老百姓们的窃窃私语，他想老百姓的话可能是对的，但他没办法就此回头，他坚持把游行进行下去，于是他更加高傲地向前走去。
帽子：红色的还是白色的？（2）
在这个童话中，骗子们所谓的皇帝的新衣服其实什么也没有，每个人都知道这是事实。也就是说，对每个人来说，“皇帝什么都没穿”是知识。但是，每个人不知道其他人是否知道这个事实，即每个人不知道其他人拥有这个知识。同时每一个人知道，只要他不说，其他人不知道他知道这个事实。即“皇帝什么都没穿”不是皇帝、大臣及老百姓之间的“公共知识”。
这里有一个虚假前提：如果我没看见皇帝的新衣服意味着我是愚蠢的。因此，每个人尽量地不让其他人了解自己没看见皇帝的新装。此时，每个人，包括皇帝都在说着假话，硬说自己看见了新衣服。每个人都在谎言下生活。这就是一个均衡，一个大家都“说谎的均衡”。
然而，小孩说出“其实皇帝什么也没穿”，小孩意味着不会说假话。当小孩的话传到每个人那里时，“其实皇帝什么也没穿”便成了公共知识。原来的均衡打破了。安徒生的这个童话里让小孩子说出真话有他的用意，小孩子是最真诚的和不受污染的。这个故事中的说真话的小孩与村庄里的大屠杀里的老太太起着相同的作用：使一个知识成为公共知识。
“教—学”均衡的公共知识条件
——教育的知识结构分析我们每个人都有老师，上小学时有小学教师，中学有中学教师，大学有大学教师，等等。并且在同一时候有不同的教师，如在中学有数学教师、语文教师、物理教师、化学教师，等等。这是众所周知的事情，没有什么特别的地方。
然而，如果我们对学生—教师的知识结构作一分析，我们会发现，教育有着特别的知识结构。
教育有什么样的结构？我们每个人都知道，学校的教师知道他或她应该知道的知识，学生知道他们的老师知道他们想学的知识，老师也知道学生知道他或她拥有某些知识，即：老师知道某些要求的知识是公共知识。我们用K1表示“教师知道某些学科的知识”，K1为公共知识。
同时，学生不知道教师知道的学科性知识，学生对这些知识的无知也成为公共知识。即：教师知道学生对这些知识的无知，成为学生和老师间的公共知识，同时也是全社会的公共知识。我们用K2表示“学生不知道某个学科的知识”，K2也是公共知识。
K1和K2不仅是老师和学生间的公共知识，同时也是社会的公共知识。
因此，我们看到，之所以教师站在讲台上，处于“教”或“传授”的位置，而学生坐在课桌前处于“学”或“聆听”的位置，就是因为有这样的公共知识存在。“教—学”或“讲授—聆听”构成一博弈均衡。如果没有这样的知识构成，“教—学”或“讲授—聆听”的均衡便不会形成。
这样的均衡何时会打破呢？
我们说，既然“教—学”的均衡依赖于公共知识K1和K2，一旦这样的知识构成被打破，“教—学”之间的关系将被终结。这里有两种可能情况：一是K1不是公共知识，或者因为教师不具有这些知识，或者教师具有这些知识但没有成为公共知识，也就是说学生或社会不知道。那么，“教—学”的均衡不能形成，这个教师便不能站在讲台上。第二种情况是，通过一定时间的学习，教师将知识教给了学生，学生也知道了教师讲授的东西，此时“教—学”均衡也被打破了。
当然，K1和K2只是“教—学”均衡形成的必要条件，而非充分条件。
诸葛亮、周瑜的掌中之“火”
《三国演义》描写了这样的故事：曹操带领大军进攻东吴，诸葛亮来到东吴，劝说东吴与刘备一起抵抗曹操大军，都督周瑜向诸葛亮请教如何破曹操的百万大军。周瑜说，我昨天察看曹操水寨，极为严整、有章法，不是一般人所能够攻破的。我想了一个计策，不知道是否可行，请先生为我决策。孔明则说：都督暂不要说，我们各自写在手上，看一看是否一样。
瑜大喜，教取笔砚来，先自暗写了，却送与孔明；孔明亦暗写了，两人移近坐榻，各出掌中之字互相观看，皆大笑。原来周瑜掌中字，乃一“火”字；孔明掌中亦一“火”字。瑜曰：“既我两人所见相同，更无疑矣。幸勿漏泄。”
在诸葛亮和周瑜未在掌中写出“火”字之前，或者尽管他们在掌中写出“火”字但没有互相观看之前，火攻曹操为一个致胜的妙计是他们两个人所知道的，但不是公共知识。因为周瑜不知道诸葛亮知道这个策略。此时很有可能的是，诸葛亮知道周瑜知道这个策略，但周瑜以为诸葛亮不知道他知道这个策略。而当两人在手中写出“火”字，并“互相观看”之后，这个策略可以取胜为他们的公共知识。
诸葛亮与周瑜将“火”字写在掌中，并互相观看，这样的行为使他们的知识结构发生变化。在这个过程，知识结构发生变化的群体只有诸葛亮和周瑜两个人，而无其他人，“诸将皆不知其事”。如果其他（尤其是曹操）知道火攻为诸葛亮和周瑜之间的公共知识，那么火攻策略便不能战胜曹操，赤壁一战便会出现另外的结果。知识的分布关系到战争的成败。
将军的困境
我们在生活中经常见到某些场合下，两个人为某件事情会心一笑，此时两人达到了默契。
如果用公共知识的概念来解释，就是两人都知道了将军的困境——协同攻击难题识，而且他们知道对方知道自己知道了该事情；即该事情是他们的公共知识。他们不通过语言传达了这些信息。
两个默契的双方不用语言就可形成某个公共知识，而在有些时候，即使用语言多次传递某个信息，该信息也难以成为公共知识。 我们看一个“协同攻击难题”。
两个将军各带领自己的部队埋伏在相距一定距离的两个山上，等候敌人。将军A得到可靠情报说，敌人刚刚到达，立足未稳。如果敌人没有防备，两股部队一起进攻的话，就能够获得胜利；而如果只有一方进攻的话，进攻方将失败。这是两位将军都知道的。A遇到了一个难题：如何与将军B协同进攻？那时没有电话之类的通讯工具，而只有通过派情报员来传递消息。将军A派遣一个情报员去了将军B那里，告诉将军B：敌人没有防备，两军于黎明一起进攻。然而可能发生的情况是，情报员失踪或者被敌人抓获。即：将军A虽然派遣情报员向将军B传达“黎明一起进攻”的信息，但他不能确定将军B是否收到他的信息。事实上，情报员回来了。将军A又陷入了迷茫：将军B怎么知道情报员肯定回来了？将军B如果不能肯定情报员回来的话，他必定不会贸然进攻的。于是将军A又将该情报员派遣到B地。然而，他不能保证这次情报员肯定到了将军B那里……
这就是“协同攻击难题”，它是由格莱斯（J。Gray）于1978年提出。更为糟糕的是，有学者证明，不论这个情报员来回成功地跑多少次，都不能使两个将军一起进攻。
问题在于，两个将军协同进攻的条件是：“于黎明一起进攻”是将军A、B之间的公共知识，然而，无论情报员跑多少次，都不能够使A、B之间形成这个公共知识！如果你是这两位将军中的一个，你有什么办法？
什么是公平分配？
分配是任何时代、任何社会的重要问题。在中国传统中有这样的思维：“不患贫，而患不均”，即是说，人们能够忍受贫穷，而不能忍受社会财富分配的不均等。微观经济学通常涉及三个方面的内容：“生产什么”、“如何生产”以及“如何分配”，即：分配是经济学的一个重要内容。
公平分配是人们追求的目标。然而，什么是公平的分配？
首先要确定一个分